Механика

По условию известна высота $h$ (координата $y$), а требуется найти время $t$, поэтому воспользуемся уравнением $$y = y_0 + v_{0y}\,t + \frac{g_y t^2}{2}.$$

При переходе из точки «0» ($y_0 = h_0$, $v_{0y} = 0$ м/с) в точку «1» ($t = t_1$, $y = h_1 = 0$ м) получаем: $$0 = h_0 - \frac{g t_1^2}{2}.$$

Тогда $$\frac{g t_1^2}{2} = h_0,\qquad t_1 = \sqrt{\frac{2h_0}{g}},$$

и численно $$t_1 = 14\ \text{с}.$$

Ответ: $t_1 = 14\ \text{с}.$

Так как по условию известно время $t$ и требуется найти высоту $h$ (координату $y$), воспользуемся уравнением $$y = y_0 + v_{0y}\,t + \frac{g_y t^2}{2}, \tag{1}$$ где $y_0$ и $v_{0y}$ — начальные координата и проекция скорости.

Так как в этом уравнении присутствуют несколько неизвестных, запишем ещё одно соотношение: $$v_y = v_{0y} + g_y t. \tag{2}$$

На верхней точке траектории скорость направлена горизонтально, поэтому $h_1 = h_{\max}$. При переходе из точки «0» ($y_0 = 0$ м) в точку «1» ($t = t_1$, $y = h_1 = h_{\max}$, $v_{1y} = 0$ м/с) из (1) и (2) с учётом $g_y = -g$ получаем: $$h_{\max} = v_{0y} t_1 - \frac{g t_1^2}{2},$$ $$v_{1y} = 0 = v_{0y} - g t_1.$$

Решая систему этих уравнений, находим, например: $$v_{0y} = g t_1,\qquad h_{\max} = g t_1^2 - \frac{g t_1^2}{2} = \frac{g t_1^2}{2},$$

и численно $$h_{\max} = 80\ \text{м}.$$

Ответ: $h_{\max} = 80\ \text{м}.$

За тело отсчёта возьмём лучника (его ростом можно пренебречь), ось $Ox$ направим вправо, ось $Oy$ — вертикально вверх. Тогда $y_0 = h_0 = 0$ м, $x_0 = 0$ м (рис. а).

При движении по параболической траектории (свободное падение по вертикали) можно записать уравнения: $$v_x = v_{0x}, \qquad x = x_0 + v_{0x} t,$$ где $x_0 = 0$ м, а $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$ (рис. б). Тогда $$v_x = v_0 \cos\alpha, \tag{1}$$ $$x = v_0 \cos\alpha \cdot t. \tag{2}$$

На наибольшей высоте траектории скорость направлена горизонтально, следовательно, $h_1 = h_{\max}$. Время подъёма до максимальной высоты $t = t_{\text{под}} = 2$ с. В этот момент, используя уравнение (1), имеем $$v = v_x = v_0 \cos\alpha. \tag{3}$$

Если высотой лучника пренебречь, то начальная и конечная высоты совпадают, а значит, время полёта $t_{\text{пол}} = 2 t_{\text{под}} = 4$ с. При $t = t_{\text{пол}}$ стрела достигает земли ($y = 0$ м, $x = l = 160$ м), и из (2) получаем $$l = v_0 \cos\alpha \cdot t_{\text{пол}} = v_0 \cos\alpha \cdot 2 t_{\text{под}}. \tag{4}$$

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем, например: $$v = v_0 \cos\alpha = \frac{l}{2 t_{\text{под}}},$$ откуда численно $$v = 40\ \text{м/с}.$$

Ответ: $v = 40\ \text{м/с}.$

Преобразуем скорость: $v = 36$ км/ч $= 10$ м/с. $$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{10^2}{50} = 2~\text{м/с}^2$$

Ответ: $2~\text{м/с}^2$

Так как две шестерни зацеплены друг с другом, их линейные скорости на поверхностях совпадают, то есть $$v = \omega_1 R_1 = \omega_2 R_2,$$ где

$$\omega_1 = 2\pi \nu_1,\qquad \omega_2 = 2\pi \nu_2,\qquad \nu_1 = \frac{N_1}{t_1}.$$

Тогда $$2\pi \frac{N_1}{t_1} R_1 = 2\pi \nu_2 R_2,\qquad R_2 = \frac{N_1}{t_1 \nu_2}\, R_1.$$

Подставляя численные данные, получаем $$R_2 = 4\ \text{см}.$$ Ответ: $R_2 = 4\ \text{см}.$