Расчетная задача. Механика и МКТ

Перед решением задачи разберёмся, какие силы действуют на шарик, а именно на шарик действует сила тяжести $F_\text{т}=mg$, направленная вертикально вниз, сила Архимеда со стороны воды $F_\text{A.в.}=\rho_\text{в} g V_\text{в}$, где $\rho_\text{в}$ – плотность воды, и сила Архимеда со стороны керосина $F_\text{A.к.}=\rho_\text{к} g V_\text{к}$, где $\rho_\text{к}$ – плотность керосина, обе эти силы направлены вверх. Причём из условия задачи мы знаем, что объём погружённой в воду части составляет 1/⁠4 объема шарика т.е. $V_\text{в}=\frac{1}{4} V$, а соответственно объём погружённой в керосин 3/⁠4 объема шарика т.е. $V_\text{к}=\frac{3}{4} V$. Так же массу самого шарика можно найти по формуле $m=\rho V$.
Теперь запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_\text{A.в.}+F_\text{A.к.}=F_\text{т}$$ $$\rho_\text{в} g V_\text{в}+\rho_\text{к} g V_\text{к}=\rho Vg$$ $$\frac{1}{4} V\rho_\text{в}+ \frac{3}{4} V\rho_\text{к}=\rho V$$ $$\rho=\frac{1}{4} \rho_\text{в}+ \frac{3}{4} \rho_\text{к}=\frac{1000}{4}+\frac{3\cdot800}{4}=850\,\text{кг/м}^3$$

Ответ: $850\,\text{кг/м}^3$

Перед решением задачи заметим, что оба тела движутся с ускорением свободного падения, т.е. движение обоих тел является уравноускоренным, тогда справедливы следующие формул: $$1.\quad h_1=\frac{gt^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\frac{2h_1}{g}}$$ $$2.\quad h_2=v_0t+\frac{gt^2}{2}=v_0t+h_1\Rightarrow v_0=\frac{h_2-h_1}{t}$$ Таким образом искомая начальная скорость равна: $$v_0=\frac{h_2-h_1}{t}=(h_2-h_1)\sqrt{\frac{g}{2h_1}}=(100-20)\sqrt{\frac{10}{2\cdot20}}=40\,\text{м/с}$$

Ответ: $40\,\text{м/с}$

Для решения задачи рассмотрим первый километр пути, тогда: $$S_1=\frac{v^2-v_0^2}{2a}=\frac{v^2}{2a}\Rightarrow a=\frac{v^2}{2S_1}$$ Теперь можем рассмотреть оставшуюся, часть пути, а именно расстояние, которое проехал поезд за время 400 с: $$S=\frac{at^2}{2}=\frac{(vt)^2}{4S_1}=\frac{(10\cdot400)^2}{4\cdot1000}=4000\,\text{м}$$ Ответ: $4000\,\text{м}$

Перед решением задачи разберёмся, какие силы действуют на шарик, а именно на шарик действует сила тяжести $F_\text{т}=mg$, направленная вертикально вниз, сила Архимеда со стороны воды $F_\text{A1}=\rho_1gV_1$, где $\rho_1$ – плотность воды, и сила Архимеда со стороны керосина $F_\text{A2}=\rho_2 g V_2$, где $\rho_2$ – плотность керосина, обе эти силы направленны вверх. Причём из условия задачи мы знаем, что объём погружённой в воду части составляет 1/⁠4 объема шарика т.е. $V_1=\frac{1}{4} V$, а соответственно объём погружённой в керосин 3/⁠4 объема шарика т.е. $V_2=\frac{3}{4} V$. Так же массу самого шарика можно найти по формуле $m=\rho V$.
Теперь запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$$F_\text{A1}+F_\text{A2}=F_\text{т}$$ $$\rho_1 g V_1+\rho_2 g V_2=\rho Vg$$ $$\frac{1}{4} V\rho_1+ \frac{3}{4} V\rho_2=\rho V$$ $$\rho=\frac{1}{4} \rho_1+\frac{3}{4}\rho_2=\frac{\rho_1+6\rho_1}{4}=\frac{7\rho_1}{4}=\frac{7\cdot400}{4}=700\,\text{кг/м}^3$$

Ответ: $700\,\text{кг/м}^3$

Перед решением задачи изобразим все силы, действующие на тела. Так на груз действуют две силы, силя тяжести $m\vec{g}$, где $m$– масса тела, и сила натяжения нити $\vec{T}$. На блок действуют силы натяжения нитей, которые равны $\vec{T}$ в силу того, что нить невесома и нерастяжима. И по третьему закону Ньютона $T=F_\text{упр.}$. В итоге получим:

В пером случае на тело находится в покое, поэтому $mg=T=F_\text{упр.}=kx_1\Rightarrow x_1=\frac{mg}{k}$, где $x_1$– дефформация пружины в пером случае.
Во втормо случае, при погружении системы в жидкость, на тело дополнительно будет действовать сила Архимеда $F_A=\rho gV$, тогда условие равновесия во втором случае будет иметь вид:
$$F_A+T'-mg=0$$ В этом случае $Т'$ это новая сила натяжения нити, котороя по третьему закону Ньютона будет будет равна новой силе уругости пружины $T'=F_\text{упр.}'=kx_2$, тогда получим уравнени:
$$\rho gV+kx_2=mg\Rightarrow x_2=\frac{mg-\rho gV}{k}$$ Таким образом длина пружины изменится на: $$\Delta x=x_1-x_2=\frac{mg}{k}-\frac{mg-\rho gV}{k}=\frac{\rho gV}{k}=\frac{800\cdot10\cdot50\cdot10^{-6}}{200}=2\cdot10^{-3}\,\text{м}$$

Ответ: $2\cdot10^{-3}\,\text{м}$