Молекулярная физика

1. После объединения сосудов масса водяного пара остаётся прежней: $$\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 = \rho (V_1 + V_2),$$ где $\rho_1, \rho_2$ — плотности пара до снятия перегородки, $V_1, V_2$ — объёмы частей, $\rho$ — плотность пара после снятия перегородки. Поделим на плотность насыщенного пара при данной температуре: $$\frac{\rho_1}{\rho_\text{н}} V_1 + \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}} V_2 = \frac{\rho}{\rho_\text{н}} (V_1 + V_2).$$

2. По определению относительной влажности: $$\varphi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_\text{н}}, \qquad \varphi_2 = \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}}, \qquad \varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{н}},$$ то есть: $$\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2 = \varphi (V_1 + V_2).$$

Отсюда: $$\varphi = \frac{\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2}{V_1 + V_2} = \frac{\varphi_1 + \varphi_2 \dfrac{V_2}{V_1}}{1 + \dfrac{V_2}{V_1}} = \frac{0.6 + 0.7 \cdot 3}{1 + 3} = 0.675 = 67,5\,\%.$$

1. После удаления перегородки суммарная масса пара сохраняется: $$\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2 = \rho (V_1 + V_2),$$ где $\rho_1$ и $\rho_2$ — плотность пара до снятия перегородки в объёмах $V_1$ и $V_2$, $\rho$ — плотность после объединения. Поделим обе части на плотность насыщенного пара: $$\frac{\rho_1}{\rho_\text{н}} V_1 + \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}} V_2 = \frac{\rho}{\rho_\text{н}} (V_1 + V_2).$$

2. По определению: $$\varphi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_\text{н}},\quad \varphi_2 = \frac{\rho_2}{\rho_\text{н}},\quad \varphi = \frac{\rho}{\rho_\text{н}},$$ то есть: $$\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2 = \varphi (V_1 + V_2).$$

Отсюда: $$\varphi_2 = \varphi + \frac{V_1}{V_2}(\varphi - \varphi_1) = 0.4 + \frac{0.4 - 0.5}{2.5} = 0.36 = 36\%.$$

Ответ: $\varphi_2 = 36\%.$

1. Относительная влажность воздуха определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_\text{п}$ к давлению насыщенного пара $p_\text{нас}$ при той же температуре: $$\varphi = \frac{p_\text{п}}{p_\text{нас}}$$

2. Изначально давление под невесомым поршнем равно атмосферному давлению $p_0$.

3. Когда масса поршня с песком становится равной $m$, давление под поршнем равно $p_0 + \frac{mg}{S}$, а относительная влажность достигает 100%.

4. Так как температура не меняется, по закону Бойля-Мариотта: $$p_0 V_1 = \left(p_0 + \frac{mg}{S}\right)V_2 \quad \text{— для влажного воздуха,}$$ $$p_\text{п} V_1 = p_\text{нас} V_2 \quad \text{— для водяного пара,}$$ где $V_1$ и $V_2$ — исходный и конечный объёмы.

5. Из закона Бойля-Мариотта и соотношения $p_\text{п} = \varphi p_\text{нас}$, а также $\dfrac{V_1}{V_2} = 1 + \dfrac{mg}{p_0 S} = \dfrac{1}{\varphi}$, находим $$m = \frac{S p_0 (1-\varphi)}{\varphi g}$$

Ответ: $m = \frac{S p_0 (1-\varphi)}{\varphi g}$.

1. Относительная влажность воздуха определяется как отношение парциального давления водяного пара $p_\text{п}$ к давлению насыщенных паров $p_\text{нас}$ при той же температуре: $$\varphi = \frac{p_\text{п}}{p_\text{нас}}$$

2. Изначально давление под невесомым поршнем в сосуде равно атмосферному $p_0$.

3. Когда масса песка с поршнем становится $m$, давление под поршнем становится $p_0 + \frac{mg}{S}$ и влажность воздуха достигает $100\%$.

4. Температура в процессе постоянна, значит по закону Бойля-Мариотта для влажного воздуха: $$p_0 V_1 = \left( p_0 + \frac{mg}{S} \right) V_2$$ а для водяного пара: $$p_\text{п} V_1 = p_\text{нас} V_2$$ где $V_1$ и $V_2$ — исходный и конечный объёмы газа.

5. Поделим уравнения и учтём $p_\text{п} = \varphi p_\text{нас}$: $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{p_0 + \frac{mg}{S}}{p_0} = 1 + \frac{mg}{p_0 S} = \frac{1}{\varphi}$$ $$\varphi = \frac{S p_0}{mg + S p_0}$$ Ответ: $\varphi = \frac{S p_0}{mg + S p_0}$.

Для решения задачи заметим, что в ходе опыта температура не менялась, а значит давление насыщенных паров $p_\text{н.п.}$ не изменилось. Парциальное давление можно найти из относительной влажности воздуха $\varphi=\frac{p}{p_\text{н.п.}}\Rightarrow p=\varphi p_\text{н.п.}$.
Далее запишем уравнение Менделеева-Клапейрона, откуда выразим количество вещества в первом и во втором сосуде и количество вещества в сосуде без перегородки: $$pV=\nu RT\Rightarrow \nu=\frac{pV}{RT}=\frac{\varphi p_\text{н.п.}V}{RT}$$ $$\Downarrow$$ $$\nu_1=\frac{\varphi_1 p_\text{н.п.}V_1}{RT} \quad\quad \nu_2=\frac{\varphi_2 p_\text{н.п.}V_2}{RT} \quad\quad \nu=\frac{\varphi p_\text{н.п.}(V_1+V_2)}{RT}$$ И так как сосуд герметичен, то справедливо соотношение $\nu=\nu_1+\nu_2$, таким образом получим:
$$\varphi_1V_1+\varphi_2V_2=\varphi (V_1+V_2)$$ Откуда найдём искомое отношение объёмов:
$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\varphi_2-\varphi_1}{\varphi-\varphi_1}=\frac{70-65}{65-60}=1$$

Ответ: $\frac{V_1}{V_2}=1$