Кредиты, равномерное уменьшение долга

Расчет ведем в тыс. руб.

15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться на

$$\frac{75}{15}=5~тыс. руб.$$ Для того, чтобы выплата, состоящая из основного долга и процентов, нам нужно чтобы проценты были:

$$\%=6,25–5=1,25$$

Введем переменную ост. – остаток, тогда: $$\begin{aligned} \frac{ост.\cdot 7,5}{100}<1,25\\ ост.<\frac{50}{3} \\ ост. < 16\frac{2}{3} \end{aligned}$$ Нам подойдут последние три месяца, когда долг составлял $5$, $10$ и $15$ тыс.руб.

Ответ: 3.

$S$ - размер кредита (в тыс. руб.)

$S=1100$ тыс. руб.

$n$ - количество месяцев

$n=31$

$r=2$ (увеличение кредита в $\%$)

Начисление процентов:

$$\frac{r}{100}$$

$A$ - общая сумма выплат

$A=1503$ тыс. руб.

Пусть $x$ - уменьшение долга с $1$ по $30$ месяц. Тогда переплата составляет:

$$1503-1100=403~тыс. руб.$$

Составим математическую модель для переплат:

Начисление $\%$ в первый месяц:

$$1100\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ во второй месяц:

$$(1100-x)\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ в третий месяц:

$$(1100-2x)\cdot 0,02$$

Начисление $\%$ в последний месяц:

$$(1100-30x)\cdot 0,02$$

$$403=1100\cdot 0,02+(1100-x)\cdot 0,02+(1100-2x)\cdot 0,02+…+(1100-30x)\cdot 0,02\\ 403=0,02\cdot (1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x)$$

Арифметическая прогрессия:

$$1100+1100-x+1100-2x+…+1100-30x$$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ $$403=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2}\cdot 31 \Leftrightarrow 13=0,02\cdot\frac{1100+1100-30x}{2} \Leftrightarrow 13=0,02\cdot (1100-15x)$$ $$13=22-0,3x \Leftrightarrow 0,3x=22-13 \Leftrightarrow 0,3x=9 \Leftrightarrow 3x=90 \Leftrightarrow x=30$$ Тогда долг $15$-го числа $30$-го месяца будет:

$$1100-30\cdot 10=200~тыс. руб.$$

Ответ: 200

Пусть $S$ — сумма кредита. Так как по условию долг уменьшается на одну и ту же сумму, то она равна $\frac{S}{12}=\frac{2400000}{12}=200$ тыс.

Сумма выплат равна: $$200\cdot12+\frac{2}{100}(S+(S-200)+...+(S-1000))+\frac{r}{100}((S-1200)+...+(S-2000)+(S-2200))$$ Обе скобки предсставляют из себя арифметические прогрессии, где:

$n=6; \quad a_1=S; \quad a_n=S-1000; \quad a_1=S-1200; \quad a_n=S-2200$.

По формуле суммы арифметической прогрессии посчитаем общую сумму выплат и приравняем к $2691$ по условию: $$2400+\frac{2}{100}\cdot\frac{2400+1400}{2}\cdot6+\frac{r}{100}\cdot\frac{1200+200}{2}\cdot6=2691$$ $$2400+38\cdot6+r\cdot14\cdot3=2691$$ $$42r=63$$ $$r=1.5$$

Ответ: 1.5

Пусть $S$ — сумма кредита. Так как по условию долг уменьшается на одну и ту же сумму, то она равна $\frac{S}{12}=\frac{3600000}{12}=300$ тыс.

Сумма выплат равна: $$300\cdot12+\frac{r}{100}(S+(S-300)+...+(S-1500))+\frac{2}{100}((S-1800)+...+(S-3000)+(S-3300))$$ Обе скобки представляют из себя арифметические прогрессии, где:

$n=6; \quad a_1=S; \quad a_n=S-1500; \quad a_1=S-1800; \quad a_n=S-3300$.

По формуле суммы арифметической прогрессии посчитаем общую сумму выплат и приравняем к $4153.5$ по условию: $$3600+\frac{r}{100}\cdot\frac{3600+2100}{2}\cdot6+\frac{2}{100}\cdot\frac{1800+300}{2}\cdot6=4153.5$$ $$3600+\frac{r}{100}\cdot\frac{5700}{2}\cdot6+0.02\cdot\frac{2100}{2}\cdot6=4153.5$$ $$3600+r\cdot57\cdot3+21\cdot6=4153.5$$ $$171r=427.5$$ $$r=2.5$$

Ответ: 2.5

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. $x$- ежегодное уменьшение долга

Из условия для 2035 года: $$1.1(S - 5x) = 484$$ $$S - 5x = 440$$ $$S=440+5x$$ Сумма всех выплат из таблицы: $$(0.2S + x) + (0.2S + 0.8x) + (0.2S + 0.6x) + (0.1S + 0.7x) + (0.1S + 0.6x) + 1.1(S - 5x) = 2376$$ $$1.9S-1.8x=2376$$ Подставим значение $S=440+5x$: $$1.9(440 + 5x) - 1.8x = 2376$$ $$836 + 9.5x - 1.8x = 2376$$ $$7.7x = 1540$$ $$x = \frac{15400}{77} = 200$$ Находим $S$: $$S = 440 + 5 \cdot 200 = 440 + 1000 = 1440$$

Ответ: 1440 \ тыс. руб.