Кредиты, равномерное уменьшение долга — задачи ЕГЭ по математике — EXTREMUM

Тип 16 № 11978

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца:

Оставшаяся сумма долга увеличивается на фиксированный процент (месячная ставка)
Затем уменьшается на фиксированную выплату

Выплаты подобраны так, что долг уменьшается равномерно. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Источник: Решу ЕГЭ

Тип 16 № 12852

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r%
этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13%
больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$n=12$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$A$ - сумма всех платежей

$1,13S=A$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{1S}{12}$

Начисление процентов:

$\cdot \frac{r}{100}$

Переплаты составляют:

$1,13S-S=0,13S$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot \frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$ ):

$S-\frac{1S}{12}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц: $\begin{aligned} (S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot (S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}) \end{aligned}$ Сумма членов арифметической прогрессии:

$S+\frac{11S}{12}+\frac{10S}{12}+\frac{10S}{12}+…+\frac{1S}{12}$

Сумма арифметической прогрессии: $\begin{aligned} \frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\\ 0,13S=\frac{r}{100}\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12|\cdot 100\\ 13S=r\cdot\frac{S+\frac{1S}{12}}{2}\cdot 12\\ 13S=r\cdot\frac{12S+S}{2}\\ 26S=r\cdot 13S\\ r=2 \end{aligned}$ Ответ: 2

Тип 16 № 12853

15 ‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Источник: ЕГЭ – 2016. Основная волна.

Решение:

$n=14$

$N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга

$r$ - увеличение кредита на $\%$

Начисление процентов:

$\cdot\frac{r}{100}$

$A$ - сумма всех платежей

$1,15S=A$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{1S}{15}$

Все переплаты составляют:

$1,15S-S=0,15S$

Составим математическую модель для всех переплат

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot\frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{14}$ ):

$S-\frac{1S}{14}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц:

$(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}$ $\begin{aligned} 0,15S=S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{14})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{14})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{14}\cdot\frac{r}{100}\\ 0,15S=(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})\cdot\frac{Sr}{100} \end{aligned}$ Это сумма членов арифметической прогрессии:

$(1+\frac{13}{14}+\frac{12}{14}+\frac{11}{14}+…+\frac{1}{14})$

Сумма арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $\begin{aligned} 15=r\cdot \frac{1+\frac{1}{14}}{2}\cdot 14\\ 15=r\cdot\frac{15}{2}\\ r=2 \end{aligned}$ Ответ: 2

Тип 16 № 12854

15 сентября планируется взять кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 -го числа каждого месяца долг возрастает на 5%
по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2 -го по 14 -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15 -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца.

Какую сумму следует взять в кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения равнялась 1,59  млн. рублей?

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$n=12$ $N$ - количество месяцев

$S$ - сумма долга (в млн. рублей)

$r$ - увеличение кредита на $\%$

$r=5$

Начисление процентов:

$\frac{r}{100}$

Сумма, на которую уменьшается долг:

$\frac{S}{12}$

Составим математическую модель для суммы выплат:

Заплатили в первый месяц:

$S\cdot\frac{r}{100}$

Стал долг, когда выплатили первый месяц (то есть долг уменьшился на $\frac{1S}{12}$ ):

$S-\frac{S}{12}$

Заплатили во второй месяц:

$(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

Заплатили в третий месяц:

$(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}$

И так далее:

$\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{1S}{12})\cdot\frac{r}{100}+(S-\frac{2S}{12})\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{1S}{12}\cdot\frac{r}{100}\\ 1,59= \left(1+\frac{11}{12}+\frac{10}{12}+\frac{9}{12}+…+\frac{1}{12}\right)\cdot S\cdot 0,05+S \end{aligned}$

Выражение в скобках представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ $\begin{aligned} 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{1+\frac{1}{12}}{2}\cdot 12\\ 1,59=S+S\cdot 0,05\cdot\frac{13}{2}\\ 1,59=S+S\cdot 0,325\\ 1,59=S\cdot 1,325\\ S=\frac{1,59}{1,325}\\ S=\frac{1590}{1325}\\ S=1,2~млн. руб. \end{aligned}$ Ответ: 1,2

Тип 16 № 12855

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3%
по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

Источник: БАНК ЕГЭ.