Текстовые задачи

Пусть скорость первого мотоциклиста равна $x$ км/ч, тогда скорость второго мотоциклиста равна $x + 21$ км/ч. Разница в скоростях составляет $21$ км/ч. Первоначальное расстояние между мотоциклистами равно половине длины трассы, то есть $7$ км. Время, через которое они поравняются, равно:

$$t = \frac{7}{21} = \frac{1}{3} \text{ часа} = 20 \text{ минут}$$

Обозначим за $x$ км/ч — скорость третьего велосипедиста, а за $t$ ч — время, которое понадобилось ему, чтобы догнать второго велосипедиста.

Составим уравнения согласно условию задачи:

$$xt = 10(t + 1)$$ $$x = \frac{10(t + 1)}{t}$$ Также нам известно, что спустя 2 часа 20 минут после этого первого велосипедиста догнал третий: $$15\cdot\left(t + 2 + \frac{7}{3}\right) = x \left(t + \frac{7}{3} \right)$$ Подставим $x$ из первого уравнения: $$15\cdot\left(t + 2 + \frac{7}{3}\right) = \frac{10(t + 1)}{t}\cdot \left(t + \frac{7}{3} \right) \Leftrightarrow \frac{15}{3}\cdot(3t + 13) = \frac{10(t + 1)(3t + 7)}{3t}$$ $$9t^2 + 39t = 6t^2 + 20t + 14 \Leftrightarrow 3t^2 + 19t - 14 = 0$$

Решая квадратное уравнение получаем корни:

$$t = \frac{2}{3}, \quad t= -7$$

Так как по смыслу задачи $t > 0$: $t = \frac{2}{3}$

Вычислим скорость третьего велосипедиста:

$$x = \frac{10(t + 1)}{t} = \frac{10(\frac{2}{3} + 1)}{\frac{2}{3}} = 25$$

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Разница в скоростях составляет $80 - x$ км/ч. За $40$ минут ($\frac{2}{3}$ часа) первый автомобиль должен проехать на $14$ км больше:

$$(80 - x) \cdot \frac{2}{3} = 14$$ $$80 - x = 21 \Rightarrow x = 59 \text{ км/ч}$$

Пусть скорость велосипедиста равна $v$ км/ч, а мотоциклиста — $m$ км/ч. За $30$ минут велосипедист проехал $0,5v$ км. Мотоциклист догнал его через $10$ минут или $\left(\frac{1}{6}\right)$ часа:

$$m \cdot \frac{1}{6} = v \cdot \left(\frac{1}{6} + 0,5\right)$$ $$m = v + 3v = 4v$$

Через $30$ минут ($0,5$ часа) после первой встречи мотоциклист догнал велосипедиста во второй раз. За это время мотоциклист проехал на круг ($30$ км) больше:

$$(m - v) \cdot 0,5 = 30$$ $$4v - v = 60 \Rightarrow v = 20 \text{ км/ч}$$ $$m = 4v = 80 \text{ км/ч}$$

Пусть $t$ — время в минутах, через которое минутная стрелка поравняется с часовой. Угловая скорость минутной стрелки составляет $6$ градусов в минуту, а часовой — $0.5$ градуса в минуту.

Угол между часовыми отметками составляет: $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$, поэтому в начальный момент времени угол между стрелками: $$30^\circ \cdot 8 = 240^\circ$$

Уравнение для нахождения времени: $$6t = 0.5t + 240 + 360k$$

• $6t$ — угол, на который повернётся минутная стрелка за время $t$
• $0.5t$ — угол, на который повернётся часовая стрелка за время $t$
• $240$ — начальный угол между стрелками
• $360k$ ($k \in \mathbb{Z}$) — учитывает полные обороты минутной стрелки

Для четвёртого совпадения $k = 3$, так как первый раз стрелки встретятся между отметками $8$ и $9$ $(k = 0)$, второй раз между $9$ и $10$ и так далее: $$6t = 0.5t + 240 + 1080 \Rightarrow 5.5t = 1320 \Rightarrow t = 240$$