Текстовые задачи

Пусть $x$ — скорость первого автомобиля. Время движения первого автомобиля до встречи: $$\frac{350}{x} \text{ часов}$$

Время движения второго автомобиля до встречи: $$\frac{350}{x} - 3 \text{ часов}$$

В сумме оба автомобиля преодолеют расстояние между городами $A$ и $B$ при встрече. Составим на основе этого уравнение: $$350 + 60\left(\frac{350}{x} - 3\right) = 470 \Leftrightarrow 350 + \frac{21000}{x} - 180 = 470 \Leftrightarrow \frac{21000}{x} = 300 \Leftrightarrow x = 70$$

Так как расстояние между городами нам незивестно, примем его за 1. Обозначим за t время, которое был в пути велосипедист. Тогда мотоциклист был в пути $t - 3$ часов ($t > 3$).

По условию задачи мотоциклист и велосипедист втретились спустя $48$ минут после начала движения. Суммарное расстояние которое они преодолеют при встрече равно расстоянию между городами.

Тогда:

$$\left(\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 3}\right)\cdot\frac{48}{60} = 1 \Leftrightarrow \left(\frac{t - 3 + t}{t^2 - 3t}\right)\cdot\frac{48}{60} = 1 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(2t - 3)\cdot0,8}{t^2 - 3t} = 1 \Leftrightarrow 10t^2 - 46t +24 = 0\Leftrightarrow5t^2 - 23t + 12 = 0$$

$$t = 4, \quad t = \frac{3}{5}$$

По условию $t > 3$

Пусть $x$ — скорость товарного поезда (км/ч). Тогда скорость скорого поезда равна $x + 45$ км/ч (так как $750$ м/мин = $45$ км/ч). Составим таблицу:

Разница во времени составляет $2$ часа: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 45} = 2$$ $$180(x + 45) - 180x = 2x(x + 45)$$ $$8100 = 2x^2 + 90x \Rightarrow 2x^2 + 90x - 8100 = 0$$ $$x^2 + 45x - 4050 = 0$$ $$D = 2025 + 16200 = 18225$$ $$x = \frac{-45 \pm \sqrt{18225}}{2} = \frac{-45 \pm 135}{2}$$ $$x = 45, \quad x = -90$$

Так как скорость положительна: $x = 45$.

Пусть $S$ – расстояние между городами $A$ и $C$, а $x$ – скорость автомобиля, t – время в пути мотоциклиста от $A$ до $C$.

Запишем систему уравнений согласно условию задачи:

$$\begin{cases} (2t + 0,5)x = 150 \\ (t + 0,5)x = 90t \end{cases}$$ Поделим второе уравнение на первое: $$\begin{cases} (2t + 0,5)x = 150 \\ \frac{t + 0,5}{2t + 0,5} = \frac{90t}{150} \end{cases}$$ Рассмотрим отдельно второе уравнение: $$\frac{t + 0,5}{2t + 0,5} = \frac{90t}{150} \Leftrightarrow \frac{2t + 1}{2t + 0,5} = \frac{6t}{5} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 10t + 5 = 12t^2 + 3t \Leftrightarrow 12t^2 - 7t - 5 = 0$$ Решая квадратное уравнение получаем корни:

$$t = 1, \quad -\frac{5}{12}$$

По смыслу нам подходит только $t = 1$.

Найдём $S$:

$$S = t\cdot90 = 1\cdot 90 = 90$$

Пусть скорость второго пешехода равна $x$ км/ч, тогда скорость первого пешехода равна $x + 1,5$ км/ч. Разница в скоростях составляет $1,5$ км/ч. Расстояние между пешеходами станет равным $300$ метрам ($0,3$ км) через время $t$ часов:

$$(x + 1,5 - x) \cdot t = 0,3$$ $$1,5t = 0,3 \Rightarrow t = 0,2 \text{ часа} = 12 \text{ минут}$$