Текстовые задачи

Пусть $N$ — количество вопросов в тесте. Время выполнения теста:

• Для Пети: $\frac{N}{8}$ часов.
• Для Вани: $\frac{N}{9}$ часов.

Составим уравнение согласно условию задачи: $$\frac{N}{8} - \frac{N}{9} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа.}$$

Решаем уравнение: $$\frac{9N - 8N}{72} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{N}{72} = \frac{1}{3} \Rightarrow N = 24.$$

Пусть $t$ — время до встречи (в часах). Первый человек проходит расстояние: $$2.5t \text{ км.}$$

Второй человек доходит до опушки за: $$\frac{4.4}{3} \text{ часов,}$$ а затем возвращается. Расстояние, которое он проходит до встречи: $$3\left(t - \frac{4.4}{3}\right) \text{ км.}$$

Расстояние, которое пройдёт первый человек до места встречи за время $t$ и расстояние, которое пройдёт второй человек от опушки в направлении дома в сумме дают $4,4$ км:

$$2.5t + 3\left(t - \frac{4.4}{3}\right) = 4.4.$$ $$2.5t + 3t - 4.4 = 4.4 \Leftrightarrow 5.5t = 8.8 \Leftrightarrow t = 1.6 \text{ часов.}$$

Расстояние от дома до места встречи: $$2.5 \cdot 1.6 = 4 \text{ км.}$$

Пусть $x$ — скорость на подъёме (км/ч), тогда скорость на спуске: $x + 3$ км/ч. Время подъёма: $5 - 1 = 4$ часа.

Длина подъёма: $4x$ км.

Длина спуска: $1 \cdot (x + 3) = x + 3$ км.

Общая длина пути: $4x + x + 3 = 8 \Leftrightarrow 5x = 5 \Leftrightarrow x = 1$ км/ч.

Скорость на спуске: $$1 + 3 = 4 \text{ км/ч.}$$

Пусть $x$ — планируемая норма укладки (м$^2$/день). Тогда:

• Планируемое время: $\frac{175}{x}$ дней.
• Ускоренный режим: $\frac{175}{x + 10}$ дней.

Разница во времени: $$\frac{175}{x} - \frac{175}{x + 10} = 2.$$

Решаем уравнение: $$175(x + 10) - 175x = 2x(x + 10).$$ $$1750 = 2x^2 + 20x \Rightarrow x^2 + 10x - 875 = 0.$$

Решая квадратное уравнение, получаем корни: $$x = 25, \quad x = -35.$$

По условию задачи нам подходит только $x = 25$.

Пусть производительности насосов: $A$, $B$, $C$ (бассейнов/мин). Объём бассейна возьмём за 1. Тогда:

$$\begin{cases} A + B = \dfrac{1}{9} \\ B + C = \dfrac{1}{14} \\ A + C = \dfrac{1}{18} \end{cases}$$ Суммируем уравнения: $$2(A + B + C) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} = \frac{14 + 9 + 7}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}.$$ Совместная производительность: $$A + B + C = \frac{5}{42} \text{ бассейнов/мин.}$$ Время наполнения: $$\frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ минут.}$$