Текстовые задачи

Пусть $x$ — скорость первого велосипедиста, тогда скорость второго равна $x - 1$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $1$ час: $$\frac{240}{x - 1} - \frac{240}{x} = 1 \Leftrightarrow \frac{240x - 240(x - 1)}{x(x - 1)} = 1 \Leftrightarrow \frac{240}{x^2 - x} = 1$$ $$x^2 - x - 240 = 0$$ $$D = 1 + 960 = 961 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 31}{2}$$ $$x = 16, \quad x = -15$$

Скорость положительна: $x = 16$.

Пусть $x$ — скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого равна $x + 3$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $3$ часа: $$\frac{88}{x} - \frac{88}{x + 3} = 3 \Leftrightarrow \frac{88(x + 3) - 88x}{x(x + 3)} = 3 \Leftrightarrow \frac{264}{x^2 + 3x} = 3$$ $$x^2 + 3x - 88 = 0$$ $$D = 9 + 352 = 361 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm 19}{2}$$ $$x = 8, \quad x = -11$$

Скорость положительна: $x = 8$.

Пусть $x$ — скорость течения. Тогда скорость лодки против течения равна $11 - x$, а по течению — $11 + x$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $6$ часов: $$\frac{112}{11 - x} - \frac{112}{11 + x} = 6 \Leftrightarrow \frac{112(11 + x) - 112(11 - x)}{121 - x^2} = 6 \Leftrightarrow \frac{224x}{121 - x^2} = 6$$ $$6x^2 + 224x - 726 = 0 \Leftrightarrow 3x^2 + 112x - 363 = 0$$ $$D = 12544 + 4356 = 16900 \Rightarrow x = \frac{-112 \pm 130}{6}$$ $$x = 3, \quad x = -\frac{242}{6}$$

Скорость течения положительна: $x = 3$.

Пусть $x$ — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость против течения равна $x - 1$, а по течению — $x + 1$. Составим таблицу:

Разница во времени составляет $2$ часа: $$\frac{255}{x - 1} - \frac{255}{x + 1} = 2 \Leftrightarrow \frac{255(x + 1) - 255(x - 1)}{x^2 - 1} = 2 \Leftrightarrow \frac{510}{x^2 - 1} = 2$$ $$x^2 - 1 = 255 \Leftrightarrow x^2 = 256 \Rightarrow x = \pm 16$$

Скорость положительна: $x = 16$.

Пусть $x$ — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна $x + 1$, а против течения — $x - 1$. Общее время в пути (без учёта стоянки) составляет $18 - 10 - 2,5 = 5{,}5$ часов. Составим уравнение:

$$\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 5{,}5 \Leftrightarrow \frac{30(x - 1) + 30(x + 1)}{x^2 - 1} = 5{,}5 \Leftrightarrow \frac{60x}{x^2 - 1} = 5{,}5$$ $$5{,}5x^2 - 60x - 5{,}5 = 0 \Leftrightarrow 11x^2 - 120x - 11 = 0$$ $$D = 14400 + 484 = 14884 \Rightarrow x = \frac{120 \pm 122}{22}$$ $$x = 11, \quad x = -\frac{2}{22}$$

Скорость положительна: $x = 11$.