Графики функций

1. Используем две точки графика для составления системы уравнений: $$\begin{cases} f(-3) = 1 \\ f(-1) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log_a (-3 + b) = 1 \\ \log_a (-1 + b) = 2 \end{cases}$$

2. Преобразуем уравнения, используя определение логарифма: $$\begin{cases} -3 + b = a \\ -1 + b = a^2 \end{cases}$$

3. Выразим $b$ из первого уравнения и подставим во второе: $$b = a + 3 \\ -1 + (a + 3) = a^2 \Rightarrow a^2 - a - 2 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение: $$a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Получаем два решения: $$a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1$$ Учитывая условия $a > 0$ и $a \neq 1$, выбираем $a = 2$.

5. Находим $b$: $$b = 2 + 3 = 5$$

6. Функция принимает вид: $$f(x) = \log_2 (x + 5)$$

7. Решаем уравнение $f(x) = 4$: $$\log_2 (x + 5) = 4 \Rightarrow x + 5 = 2^4 \Rightarrow x = 16 - 5 = 11$$

Найдём коэффициент $k$: $$f(1) = -3 \Leftrightarrow\frac{k}{1} = -3 \Leftrightarrow k = -3$$

Найдём коэффициенты $a$ и $b$: $$\begin{cases} g(1) = -3 \\ g(-4) = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = -3\\ -4a + b = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = -3 -a\\ -4a -3 -a = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} b = -3 - a\\ -5a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -0,2\\ b = -2,8 \end{cases}$$

Для того чтобы найти точки пересечения графиков функций, приравняем их между собойц: $$\frac{-3}{x} = -0,2x - 2,8 \Leftrightarrow \frac{-15}{x} = -x - 14 \Leftrightarrow-15 = -x^2 - 14x \Leftrightarrow x^2 + 14x - 15 = 0$$ $$(x - 1)(x + 15) = 0 \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad x = -15$$

Абсцисса $x = 1$ соответствует точке пересения графиков $(1, -3)$, значит абсцисса $x = -15$ соответствует искомой точке пересечения. Найдём ординату второй точки пересечения, подставив найденную точку в функцию $f(x)$: $$\frac{-3}{-15} = 0,2$$

Найдём коэффициенты: $$\begin{cases} f(-2) = 2\\ f(-4) = 4\\ f(-5) = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(-2)^2 -2b + c = 2\\ a(-4)^2 - 4b + c = 4\\ a(-5)^2 -5b + c = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4a - 2b + c = 2\\ 16a - 4b + c = 4\\ 25a - 5b + c = -1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 16a - 4b + (2 - 4a + 2b) = 4\\ 25a - 5b + (2 - 4a + 2b) = -1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 12a - 2b = 2\\ 21a - 3b = -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ 6a - b = 1\\ 7a - b = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2b\\ (7a - b) - (6a - b) = -1 - 1\\ b = 6a - 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4a + 2(6a - 1)\\ a = -2\\ b = 6(-2) - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 - 4(-2) + 2(-12 - 1)\\ a = -2\\ b = -13 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 2 + 8 - 26\\ a = -2\\ b = -13 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -2\\ b = -13\\ c = -16 \end{cases}$$

Запишем функцию: $$f(x) = -2x^2 - 13x - 16$$ Найдём значение $f(1)$: $$f(1) = -2\cdot1^2 - 13 - 16 = -15 - 16 = -31$$

Из графика видно, что вершина параболы имеет координаты $(x_0, f(x_0)) = (4; 3)$, тогда: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + f(x_0) = a(x - 4)^2 + 3$$ Найдём коэффициент $a$: $$f(2) = -1 \Leftrightarrow a(2 - 4)^2 + 3 = -1 \Leftrightarrow 4a + 3 = -1 \Leftrightarrow a = -1$$ Запишем функцию: $$f(x) = -(x - 4)^2 + 3$$ Найдём значение $f(12)$: $$f(12) = -(12 - 4)^2 + 3 = -61$$

Найдём коэффициенты $a, b, c$. $$\begin{cases} g(-4) = 1\\ g(-1) = 7\\ g(-3) = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(-4)^2 -4b + c = 1\\ a(-1)^2 - b + c = 7\\ a(-3)^2 -3b + c = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 16a - 4b + c = 1\\ a - b + c = 7\\ 9a - 3b + c = 5 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 16a - 4b + (7 - a + b) = 1\\ 9a - 3b + (7 - a + b) = 5 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 15a - 3b + 7 = 1\\ 8a - 2b + 7 = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 15a - 3b = -6\\ 8a - 2b = -2 \end{cases} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ 5a - b = -2\\ 4a - b = -1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + b\\ (5a - b) - (4a - b) = -2 - (-1)\\ b = 4a + 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 - a + (4a + 1)\\ a = -1\\ b = 4(-1) + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \begin{cases} c = 7 + 1 - 3\\ a = -1\\ b = -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1\\ b = -3\\ c = 5 \end{cases}$$

Запишем функцию: $$g(x) = -x^2 -3x + 5$$ Найдём абсциссы точек пересечения графиков: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow -3x -4 = -x^2 - 3x + 5 \Leftrightarrow x^2 -9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$ Абсцисса $x = -3$ соответствует известной точке пересечения $(-3; 5)$, значит $x = 3$ – искомая абсцисса второй точки пересечения.