Графики функций

Найдём коэффициенты $a, b, c$.

Заметим, что координаты вершины параболы равны $(2, -4)$ (то есть $x_0 = 2, y_0 = -4$) и $a = 1$.

Составим уравнение: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 1\cdot(x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$$

Найдём коэффициент $k$: $$g(1) = 3 \Leftrightarrow 1\cdot k = 3 \Rightarrow k = 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x = 3x \Leftrightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 7$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $7$.

Из графика находим известную точку: $f(-1) = 4$. Подставляем в уравнение функции: $$a^{-1} = 4$$ Перепишем уравнение: $$\frac{1}{a} = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$$ Теперь функция имеет вид $f(x) = \left( \frac{1}{4} \right)^x$. Находим $f(-2)$: $$f(-2) = \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} = 16$$

Установим соответствия между графиками и функциями.

Вершина заданной параболы имеет абсциссу: $$x_{\text{в}} = \frac{7}{-8} = -\frac{7}{8}$$

Она отрицательна, следовательно синий график является графиком функции $f(x)$.

Найдём коэффициенты $a, b, c$ функции $g(x)$.

Коэффициент $c$ равен -4, так как левая ветвь параболы пересекает ось $Oy$ в точке -4.

Для того чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$ составим систему уравнений и подставим известные координаты точек.

Нам известны 2 точки: $$(1; 1), (3; -1)$$

$$\begin{cases} a\cdot(1)^2 + b\cdot 1 - 4 = 1\\ a\cdot(3)^2 + b\cdot 3 - 4 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = 5\\ 9a +3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a +3b = 15\\ 9a +3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a + 3b = 15\\ 6a = -12 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 3\cdot(-2) + 3b = 15\\ a = -2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b = 7\\ a = -2 \end{cases}$$

Найдём точки пересечения графиков: $$-4x^2 - 7x - 4 = -2x^2 + 7x - 4 \Leftrightarrow 2x^2 + 14x = 0 \Leftrightarrow x(x + 7) = 0$$ $$x = -7 \text{ или } x = 0$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $-7$.

Составим систему уравнений, подставив координаты известных точек в функцию и найдём коэффициенты: $$\begin{cases} f(3) = 9a + 3b + c = 1\\ f(4) = 16a +4b + c = -2\\ f(6) = 36a + 6b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ 16a + 4b + (1 - 9a - 3b) = -2 \\ 36a + 6b + (1 - 9a - 3b) = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ 7a + b = -3 \\ 27a + 3b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 9a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 9a + (-3 - 7a) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\begin{cases} c = 1 - 9a - 3b \\ b = -3 - 7a \\ 2a = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = -3 - 7(2) \\ c = 1 - 9(2) - 3(-17) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = -17 \\ c = 34 \end{cases}$$

$$f(x) = 2x^2 -17x + 34$$

Надём $f(10)$: $$f(10) = 2\cdot100 - 17\cdot 10 + 34 = 64$$

Из рисунка найдем точки, принадлежащие графикам функции. Точка $(1;-4)$ принадлежит $g(x)=ax+b$, точка $(2;1)$ — $f(x)=\frac{k}{x}$.

Подставим точку $( -4; a+b)$:

$$\begin{cases} -4=a+b\\ 1=2a+b \end{cases}$$

$$\begin{cases} b=-4-a\\ 1=2a-4-a \end{cases}$$

$$\begin{cases} a=-9\\ 5=a. \end{cases}$$

Получаем $g(x)=5x-9$.

$$1=\frac{k}{2}$$

$$k=2$$

$$f(x)=\frac{2}{x}.$$

Приравняем функции для нахождения координат точки касания.

$$\frac{2}{x}=5x-9$$

$$5x^2-9x-2=0$$

$$D=81+40=121$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 11}{10}$$

$$x_1=2,\; x_2=-\frac{1}{5} \text{ является абсциссой точки B.}$$