Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - 3x + 1\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,4]$ и возрастает на $[4,9]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=4$: $$y(4) = 4^{\frac{3}{2}} - 3(4) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{2}{3}x^{3/2} - 2x + 1\right)' = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}x^{1/2} - 2 = \sqrt{x} - 2$$

2. Найдём нули производной: $$\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\dfrac{2}{3}x^{3/2} - 3x + 1\right)' = \sqrt{x} - 3$$

2. Найдём нули производной: $$\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на всем отрезке, поэтому наименьшее значение в правом конце: $$y(9) = \dfrac{2}{3} \cdot 27 - 27 + 1 = 18 - 27 + 1 = -8$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(7 + 6x - 2x^{3/2}\right)' = 6 - 3\sqrt{x}$$

2. Найдём нули производной: $$6 - 3\sqrt{x} = 0 \Longleftrightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 4$ и убывает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3x - 2x^{3/2}\right)' = 3 - 3\sqrt{x}$$

2. Найдём нули производной: $$3 - 3\sqrt{x} = 0 \Longleftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[0,1]$ и убывает на $[1,4]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 3 - 2 + 0 = 1$$