Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(5 + 9x - \dfrac{x^3}{3}\right)' = 9 - x^2$$

2. Найдём нули производной: $$9 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция возрастает на всём заданном отрезке, поэтому её наибольшее значение будет в его правом конце: $$y(3) = 5 + 9\cdot3 - \dfrac{3^3}{3} = 5 + 27 - 9 = 23$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - 3x + 1\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3$$

2. Найдём нули производной на отрезке: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 4 \in [1;9]$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

Вычислим значение функции в точке минимума: $$y(4) = 8 - 12 + 1 = -3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x + 1\right)' = x^{\frac{1}{2}} - 2$$

2. Найдём нули производной: $$\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = x^{\frac{1}{2}} - 3$$

2. Найдём нули производной на отрезке: $$\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow x = 9 \in [1;9]$$

3. Анализ поведения функции:

1. Функция убывает на всём заданном отрезке, поэтому её минимальное значение будет в его конце: $$y(9) = 18 - 27 + 1 = -8$$