Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(7 + 6x - 2x^{\frac{3}{2}}\right)' = 6 - 3x^{\frac{1}{2}}$$

2. Найдём нули производной: $$6 - 3\sqrt{x} = 0 \Longleftrightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 4$ и убывает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3x - 2x^{\frac{3}{2}}\right)' = 3 - 3x^{\frac{1}{2}}$$

2. Найдём нули производной: $$3 - 3\sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[0,1]$ и убывает на $[1,7]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=1$: $$y(1) = 3(1) - 2(1)^{\frac{3}{2}} = 1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1\right)' = -x^{\frac{1}{2}} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 9$ и убывает при $x > 9$, поэтому $x = 9$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1\right)' = -x^{\frac{1}{2}} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на всем отрезке $[1,9]$, поэтому наибольшее значение в правом конце: $$y(9) = -\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} + 3(9) + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - 3x + 1\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x < 4$ и возрастает при $x > 4$, поэтому $x = 4$ - точка минимума.