Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\dfrac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\right)' = -\sqrt{x} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 9$ и убывает при $x > 9$, поэтому $x = 9$ - точка максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\dfrac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\right)' = -\sqrt{x} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[1,9]$ и убывает после $x=9$, поэтому наибольшее значение в точке $x=9$: $$y(9) = -\dfrac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-x - \dfrac{289}{x}\right)' = -1 + \dfrac{289}{x^2} = \frac{289 - x^2}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{289 - x^2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 289 \Rightarrow x = \pm 17$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=17$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-x - \dfrac{1}{x}\right)' = -1 + \frac{1}{x^2}=\frac{1 - x^2}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{1 - x^2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=-1$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(x + \dfrac{25}{x}\right)' = 1 - \dfrac{25}{x^2}$$

2. Найдём нули производной: $$1 - \dfrac{25}{x^2} =\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \Rightarrow x = \pm5$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,5]$ и возрастает на $[5,10]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=5$: $$y(5) = 5 + \dfrac{25}{5} = 10$$