Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((8-x)e^{9-x}\right)' = -e^{9-x} - (8-x)e^{9-x} =$$

$$-e^{9 - x}(1 + 8 - x)=e^{9-x}(x-9)$$

1. Найдём нули производной: $$e^{9-x}(x-9) = 0 \Rightarrow x = 9$$ (так как $e^{9-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[3,9]$ и возрастает на $[9,10]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=9$: $$y(9) = (8-9)e^{0} = -1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((8-x)e^{x-7}\right)' = -e^{x-7} + (8-x)e^{x-7} =e^{x - 7}(8 - x - 1) = e^{x-7}(7 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{x-7}(7 - x) = 0 \Rightarrow x = 7$$ (так как $e^{x-7} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[3,7]$ и убывает на $[7,10]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=7$: $$y(7) = (8-7)e^{0} = 1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-9)e^{10-x}\right)' = e^{10-x} - (x-9)e^{10-x} = e^{10 - x}(1 - x + 9) = e^{10-x}(10 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{10-x}(10 - x) = 0 \Rightarrow x = 10$$ (так как $e^{10-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-11,10]$ и убывает на $[10,11]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (10-9)e^{0} = 1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^{x-10}\right)' = (6x-36)e^{x-10} + (3x^2-36x+36)e^{x-10} =$$ $$= e^{x - 10}(3x^2 - 36x + 36 + 6x -36) = e^{x-10}(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{x-10}(3x^2-30x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке только $x=10$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[8,10]$ и возрастает на $[10,11]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (300-360+36)e^{0} = -24$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^x\right)' = (6x-36)e^x + (3x^2-36x+36)e^x =$$ $$= e^x(3x^2 - 36x + 36 + 6x - 36)= e^x(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^x(3x^2-30x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке только $x=0$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-1,0]$ и убывает на $[0,4]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=0$: $$y(0) = (0-0+36)e^{0} = 36$$