Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-8x+8)e^{2-x}\right)' = (2x-8)e^{2-x} - (x^2-8x+8)e^{2-x} = e^{2-x}(-x^2+10x-16)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{2-x}(-x^2+10x-16) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 8$$ (на отрезке только $x=2$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,7]$. Функция имеет минимум в точке х = 2, следовательно минимальное значение функции на отрезке [1; 7] будет в точке х = 2: $$y(2) = (4-16+8)e^{0} = -4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-10x+10)e^{10-x}\right)' = (2x-10)e^{10-x} - (x^2-10x+10)e^{10-x} =$$ $$= e^{10 - x}(-x^2 + 10x + -10 + 2x - 10) = e^{10-x}(-x^2+12x-20)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{10-x}(-x^2+12x-20) = 0 \Leftrightarrow -x^2+12x-20 = 0$$ $e^{10 -x} > 0$ при любых $x$

Решая квадратное уравнение получаем: $$x = 2 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке попадает $x=10$)

1. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[5,10]$ и убывает на $[10,11]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (100-100+10)e^{0} = 10$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-2)^2e^{x-2}\right)' = 2(x-2)e^{x-2} + (x-2)^2e^{x-2} =$$

$$= e^{x - 2}(x - 2)(x - 2 + 2)= e^{x-2}(x - 2)x$$

1. Найдём нули производной: $$e^{x-2}(x - 2)x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ ($e^{x - 2} > 0$ при любых $x$, на отрезке попадает $x=2$)

2. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,4]$, следовательно наименьшее значение в точке $x=2$: $$y(2) = (0)^2e^{0} = 0$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-2)^2e^x\right)' = 2(x-2)e^x + (x-2)^2e^x = e^x(x^2-2x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^x(x^2-2x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ (на отрезке попадает $x=0$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-5,0]$ и убывает на $[0,1]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=0$: $$y(0) = (4)e^{0} = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+3)^2e^{-3-x}\right)' = 2(x+3)e^{-3-x} - (x+3)^2e^{-3-x} = e^{-3-x}(-x^2-4x-3)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{-3-x}(-x^2-4x-3) = 0 \Leftrightarrow -x^2 -4x - 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ или } x = -1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[-5,-3]$ и возрастает на $[-3,-1]$, следовательно наименьшее значение в точке $x=-3$: $$y(-3) = (0)^2e^{0} = 0$$