Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+6)^2e^{-4-x}\right)' = 2(x+6)e^{-4-x} - (x+6)^2e^{-4-x} = e^{-4-x}(x + 6)(2 - x - 6) = e^{-4-x}(x + 6)(-4 -x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{-4-x}(-x^2-10x-24) = 0 \Rightarrow x = -6, x = -4 (e^{-4 -x} > 0)$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-6,-4]$ и убывает на $[-4,-1]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=-4$ (точка максимума).

1. Вычислим значение функции в точке х = -4: $$y(-4) = (2)^2e^{0} = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = 3 - \frac{3}{x+3} = \frac{3x+9-3}{x+3} = \frac{3x+6}{x+3}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{3x+6}{x+3} = 0 \Rightarrow x = -2$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $(-3,-2]$, возрастает на $[-2,\infty)$, следовательно точка минимума $x=-2$.

1. Ограничения: $x+5>0 \Rightarrow x>-5$

2. Найдём производную: $$y' = \frac{5}{x+5} - 5 = \frac{5-5(x+5)}{x+5} = \frac{-5x-20}{x+5}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{-5x-20}{x+5} = 0 \Rightarrow x = -4$$

4. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $(-5,-4]$, убывает на $[-4,+\infty)$, следовательно точка максимума $x=-4$.

1. Ограничения: $x+7>0 \Rightarrow x>-7$

2. Найдём производную: $$y' = 4 - \frac{4}{x+7} = \frac{4(x+7)-4}{x+7} = \frac{4x+24}{x+7}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{4x+24}{x+7} = 0 \Rightarrow x = -6$$

4. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $(-7,-6)$, возрастает на $[-6,+\infty)$, следовательно точка минимума $x=-6$.

1. Ограничения: $x+7>0 \Rightarrow x>-7$

2. Найдём производную: $$y' = \frac{8}{x+7} - 8 = \frac{8-8(x+7)}{x+7} = \frac{-8x-48}{x+7}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{-8x-48}{x+7} = 0 \Rightarrow x = -6$$

4. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $(-7,-6)$, убывает на $(-6,+\infty)$, следовательно точка максимума $x=-6$.