Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Ограничения: $x>0$

2. Найдём производную: $$y' = 4x - 13 + \frac{9}{x} = \frac{4x^2-13x+9}{x}$$

3. Найдём нули производной: $$\frac{4x^2-13x+9}{x} = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = 2.25$$

4. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $(0,1)$, убывает на $[1,2.25)$, возрастает на $[2.25,+\infty)$, следовательно точка максимума $x=1$.

Ограничения: $x > 0$

1. Найдём производную функции: $$y' = (2x^2 - 5x + \ln x - 3)' = 4x - 5 + \frac{1}{x}$$

2. Найдём нули производной: $$4x - 5 + \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 5x + 1 = 0$$ $$D = 25 - 16 = 9$$ $$x = \frac{5 \pm 3}{8} \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = \frac{1}{4}$$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.

1. Найдём производную функции: $$y' = 2\cos x - (2x-3)\sin x - 2\cos x = -(2x-3)\sin x$$

2. Найдём нули производной на интервале: $$-(2x-3)\sin x = 0$$ На $(0;\frac{\pi}{2})$: $\sin x > 0$, значит $2x-3 = 0 \Rightarrow x = 1,5$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет максимум в точке $x=1,5$.

1. Найдём производную функции: $$y' = -\cos x - (0.5-x)\sin x + \cos x = (x-0.5)\sin x$$

2. Найдём нули производной на интервале: $$(x-0.5)\sin x = 0$$ На $(0;\frac{\pi}{2})$: $\sin x > 0$, значит $x-0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5$

3. Исследуем поведение функции:

Функция имеет минимум в точке $x=0.5$.

1. Найдём производную функции: $$y' = -2\cdot\frac{1}{\cos^2 x} + 4$$

2. Найдём нули производной: $$-\frac{2}{\cos^2 x} + 4 = 0 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4}$$

3.Анализ поведения функции:

Функция достигает наибольшего значения либо в точке $x=-\frac{\pi}{3}$, либо в точке $x = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y\left(-\frac{\pi}{3} \right) = 2 \cdot tg\frac{\pi}{3} -4\frac{\pi}{3} -\pi - 3$$ $$y\left(\frac{\pi}{4} \right) = -2 \cdot tg\frac{\pi}{4} -\pi + \pi - 3 = -5$$

Наибольшее из двух значений: $y\left(\frac{\pi}{4} \right) = -5$