Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = -14 + \frac{7}{\cos^2 x}$$

2. Найдём нули производной: $$-14 + \frac{7}{\cos^2 x} = 0 \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{2}$$

$$\cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{4} \quad \text{на отрезке} \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} \right]$$

1. Исследуем поведение функции:

Функция может иметь наименьшее значение в точках: $x = -\frac{\pi}{3}$ или $x = \frac{\pi}{4}$:

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 7\cdot tg\frac{\pi}{4} -3.5\pi + 3.5\pi + 11 = 7 + 11 = 18$$ $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -7\cdot tg\frac{\pi}{3} + 14\cdot\frac{\pi}{3} + 3.5\pi + 11$$

Наименьшее из двух значений: $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 18$

1. Найдём производную функции: $$y' = -4\sin x - 20$$

2. Найдём нули производной: $$-4\sin x - 20 = 0 \Rightarrow \sin x = -5$$ Нет корней, так как $\sin x \in [-1,1]$

3. Производная отрицательна на всём отрезке, значит функция убывает. Тогда наибольшее значение функция принимает в левом конце промежутка: $$y(0) = 4\cos 0 - 20\cdot0 + 7 = 4 + 7 = 11$$

1. Найдём производную функции: $$y' = 5\cos x - 6$$

2. Найдём нули производной: $$5\cos x - 6 = 0 \Rightarrow \cos x = 1.2$$ Нет корней, так как $\cos x \in [-1,1]$

3. Производная отрицательна на всём отрезке, значит функция убывает. Наибольшее значение функция принимает в левом конце промежутка: $$y(0) = 5\sin 0 - 6\cdot0 + 3 = 3$$

1. Найдём производную функции: $$y' = 12\cos x - 6\sqrt{3}$$

2. Найдём нули производной: $$12\cos x - 6\sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$$ (На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$)

3. Анализ поведения функции:

Функция на заданном отрезке имеет точку максимума $x = \frac{\pi}{6}$.

Найдём значение функции в точке максимума: $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12\cdot\frac{1}{2} - \sqrt{3}\cdot\pi + \sqrt{3}\cdot\pi + 6 = 12$$

1. Найдём производную функции: $$y' = 5 - 5\sqrt{2}\cos x$$

2. Найдём нули производной: $$5 - 5\sqrt{2}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$$

(На отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$)

1. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x = \frac{\pi}{4}$

Вычислим значение функции в точке минимума: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 - \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} -5\sqrt{2}\sin \frac{\pi}{4} = 3 - 5 = -2$$