Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{x}{x^2+289}\right)' = -\frac{1\cdot(x^2+289) - x\cdot2x}{(x^2+289)^2} = \frac{x^2-289}{(x^2+289)^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{x^2-289}{(x^2+289)^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 289 \Rightarrow x = \pm 17$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=-17$.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{x}{x^2+1}\right)' = -\frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2}$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{x^2 - 1}{(x^2+1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет минимум в точке $x=1$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию с отрицательным коэффициентом перед $x^2$. Значит эта квадратичная функция принимает своё максимальное значение в точке $x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2$. Функция $y=\sqrt{4-4x-x^2}$ определена в этой точке $\Rightarrow$ в силу своей монотонности она принимает своё максимальное значение там же, где принимает своё максимальное значение квадратичная функция.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию с положительным коэффициентом перед $x^2$. Значит эта квадратичная функция принимает своё минимальное значение в точке $x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$. Функция $y=\sqrt{x^2-6x+11}$ определена в этой точке $\Rightarrow$ в силу своей монотонности она принимает своё минимальное значение там же, где принимает своё минимальное значение квадратичная функция.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию с положительным коэффициентом перед $x^2$. Значит эта квадратичная функция принимает своё минимальное значение в точке $x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$. Функция $y=\sqrt{x^2-6x+13}$ определена в этой точке $\Rightarrow$ в силу своей монотонности она принимает своё минимальное значение там же, где принимает своё минимальное значение квадратичная функция.

Найдём значение функции в точке $x = 3$:

$$y(3) = \sqrt{3^2 - 18 + 13} = \sqrt4 = 2$$