Наибольшее и наименьшее значение функций

Найдём производную заданной функции:

$$y'=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}.$$

Найденная производная обращается в нуль в точках $2$ и $-2$, из них на отрезке $[-11;\ -0{,}5]$ лежит только точка $-2$. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=-2$ заданная функция имеет максимум, являющийся её наибольшим значением на заданном отрезке. Найдём это наибольшее значение:

$$y(-2)=-2-\frac{4}{-2}+14=-2-2+14=10.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=3x^2-147=3(x^2-49)=3(x+7)(x-7).$$

Найдем нули производной на заданном отрезке:

$$\begin{cases} 3(x+7)(x-7)=0,\\ 0\le x\le 8, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \quad 0\le x\le 8,\ x=7.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=7$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$$y(7)=7^3-147\cdot 7+19=343-1029+19=-667.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y' = 2(x+6)(x-10)+(x+6)^2\cdot 1=(x+6)(2x-20+x+6)=(x+6)(3x-14).$$

Производная обращается в нуль в точках $-6$ и $\frac{14}{3}$, заданному отрезку принадлежит число $-6$. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $-6$ функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

$$y(-6)=(-6+6)^2(-6-10)+8=8.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(x^2-15x+15)'e^{x+3}+(x^2-15x+15)(e^{x+3})'= (2x-15)e^{x+3}+(x^2-15x+15)e^{x+3}=(x^2-13x)e^{x+3}=x(x-13)e^{x+3}.$$

Найдем нули производной:

$$x(x-13)e^{x+3}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=0,\\ x_2=13. \end{cases}$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=0$.

Поскольку функция $y=7^x$ возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение $x^{2}-2x+3$. Квадратный трехчлен $y=ax^{2}+bx+c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x=-\frac{b}{2a}$, в нашем случае — в точке $1$. Значение функции в этой точке равно

$$y=7^{ 1^{2}-2\cdot 1+3}=49.$$