Наибольшее и наименьшее значение функций

Найдём нули производной: $$y' = 3x^2 -108 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 36 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 6$$

Знак производной меняется с $+$ на $-$ проходя через точку $x = -6$, значит, $x = -6$ – точка максимума.

Найдём нули производной: $$y' = (4x - 26)e^{17 - x} - (2x^2 -26x + 26)e^{17 - x} = 0 \Leftrightarrow 4x - 26 -2x^2 + 26x -26 = 0 \Leftrightarrow 2x^2 -30x + 52 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^2 - 15x + 26 \Leftrightarrow (x -13)(x - 2) = 0$$

Производная функции меняет свой знак с плюса на минус проходя через точку $x = 13$, значит $x = 13$ – точка максимума функции.

ОДЗ функции $x \ge 0$.

Найдём производную функции:

$$y' = (12)' + 9(x)' - 2\left(x^{\frac{3}{2}}\right)'$$

$$y' = 9 - 2\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$$

$$y' = 9 - 3\sqrt{x}$$

Найдём экстремумы функции:

$$9 - 3\sqrt{x} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{x} = 3 \quad \Leftrightarrow \quad x = 9$$

Воспользуемся методом интервалов:

Таким образом точка максимума функции $x = 9$. Так как это точка принадлежит указанному отрезку, то $y(9)$ — наибольшее значение исходной функции:

$$y(9)=12+9\cdot 9-2\cdot 9\sqrt{9}=12+81-54=39$$

Оценим логарифм, выделив полный квадрат. В силу убывания логарифмической функции с основанием меньше 1 справедлива цепочка соотношений:

$$\log_{1/3}(x^2+6x+12)=\log_{1/3}\big((x+3)^2+3\big)\le \log_{1/3}3=-1.$$

Поэтому в точке $-3$, лежащей на отрезке $[-19;\,-1]$, функция достигает наибольшего значения, равного $-1$.

Найдём производную заданной функции:

$$y'=(x^2+18x-18)'e^x+(x^2+18x-18)(e^x)'= (x^2+18x-18)e^x+(2x+18)e^x= (x^2+20x)e^x.$$

Найдём нули производной на заданном отрезке: $$\begin{cases} (x^2+20x)e^x=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x(x+20)=0, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ \begin{cases} x=0,\\ x=-20, \end{cases} \ \Leftrightarrow\ x=0.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке $x=0$ заданная функция имеет минимум, являющийся её наименьшим значением на заданном отрезке. Найдём это наименьшее значение:

$$y(0)=(-18)\cdot e^0=-18.$$