Наибольшее и наименьшее значение функций

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию с отрицательным коэффициентом перед $x^2$. Значит эта квадратичная функция принимает своё максимальное значение в точке $x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{-2} = -2$. Функция $y=\sqrt{5-4x-x^2}$ определена в этой точке $\Rightarrow$ в силу своей монотонности она принимает своё максимальное значение там же, где принимает своё максимальное значение квадратичная функция.

Вычислим значение функции в точке $x = -2$:

$$y(2) = \sqrt{5 + 8 -4} = \sqrt9 = 3$$

Подлогарифмическое выражение представляет собой квадратичную функцию с отрицательным коэффициентом перед $x^2$. Значит эта квадратичная функция принимает своё максимальное значение в точке $x_{в} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Функция $y = \log_2(2 + 2x -x^2) - 2$ определена в этой точке $\Rightarrow$ в силу своей монотонности (основание логарифма больше 1) она принимает своё максимальное значение там же, где принимает своё максимальное значение квадратичная функция.

Так как функция $y = 7^{x}$ возрастает, исходная функция принимает минимальное значение в той же точке, в которой принимает минимальное значение её показатель.

Показатель исходной функции $x^2 + 2x + 3$ представляет собой квадратичную функцию с положительным коэффициентом при старшей степени, значит, он принимает своё минимальное значение в точке $x_{\text{в}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+8)^2 e^{3-x}\right)' = 2(x+8)e^{3-x} - (x+8)^2 e^{3-x}$$ $$= e^{3-x}(x+8)(2 - (x+8)) = e^{3-x}(x+8)(-x-6)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{3-x}(x+8)(-x-6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8 \;\text{или}\; x = -6$$ (так как $e^{3-x} > 0$ при всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x<-8$, возрастает при $-8<x<-6$ и снова убывает при $x>-6$, поэтому точка $x=-6$ является точкой максимума.

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(15 + 24x - 2x^{\frac{3}{2}}\right)' = 24 - 3x^{\frac{1}{2}} = 24 - 3\sqrt{x}$$

2. Найдём нули производной: $$24 - 3\sqrt{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x} = 8 \quad\Rightarrow\quad x = 64$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает при $x < 64$ и убывает при $x > 64$, поэтому $x = 64$ — точка максимума.