Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-10x+10)e^{5-x}\right)' = (2x-10)e^{5-x} - (x^2-10x+10)e^{5-x} =$$ $$= e^{5 - x}(-x^2 + 10x - 10 + 2x - 10)= e^{5-x}(-x^2+12x-20)$$

2. Найдём нули производной: $$-x^2+12x-20 = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 10$$

3. Анализ поведения функции:

Функция имеет максимум в точке $x=10$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x-2)^2 e^{x-6}\right)' = 2(x-2)e^{x-6} + (x-2)^2 e^{x-6} =$$ $$=e^{x - 6}(x - 2)(x - 2 + 2) = e^{x-6}(x-2)x$$

2. Найдем нули производной: $$e^{x-6}(x-2)x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ (так как $e^{x-6} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ производной:

Функция имеет максимум в точке $x = 0$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x-2)^2 e^{x-5}\right)' = 2(x-2)e^{x-5} + (x-2)^2 e^{x-5} =$$ $$=e^{x - 5}(x - 2)(x - 2 + 2) = e^{x-5}(x-2)x$$

2. Найдем нули производной: $$e^{x-5}(x-2)(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ (так как $e^{x-5} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = 2$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x+6)^2 e^{4-x}\right)' = 2(x+6)e^{4-x} - (x+6)^2 e^{4-x} =$$

$$= e^{4-x}(x+6)(-x -6 + 2) = e^{4 - x}(x + 6)(-x - 4)$$

1. Найдем нули производной: $$e^{4-x}(x+6)(-x - 4) = 0 \Rightarrow x = -6 \text{ или } x = -4$$ (так как $e^{4-x} > 0$ для всех $x$)

2. Анализ производной:

Функция имеет максимум в точке $x = -4$.

1. Найдем производную функции: $$y' = \left((x+3)^2 e^{2-x}\right)' = 2(x+3)e^{2-x} - (x+3)^2 e^{2-x} = e^{2-x}(x+3)(-x - 1)$$

2. Найдем нули производной: $$e^{2-x}(x+3)(-x - 1) = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ или } x = -1$$ (так как $e^{2-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ производной:

Функция имеет минимум в точке $x = -3$.