Уравнения

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, получаем: $$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\tfrac{5}{2}.$$

Обозначим $t=4^{\sin x} > 0$ , тогда $4^{-\sin x}=\tfrac{1}{t}$.

$$t+\frac{1}{t}=\tfrac{5}{2}$$

Домножим на $t \neq 0$:

$$2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow t=2 \;\;\; \text{или} \;\;\; t=\tfrac{1}{2}.$$

1. $4^{\sin x}=2 \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2}$.

$$x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k \in Z$$

1. $4^{\sin x}=\tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=-\tfrac{1}{2}$.

$$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\tfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$\tfrac{5\pi}{6} + 2\pi =\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{5\pi}{6} + 4\pi =\tfrac{19\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6} + 4\pi = \;\tfrac{23\pi}{6}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z};$

б) $\tfrac{17\pi}{6},\;\tfrac{19\pi}{6},\;\tfrac{23\pi}{6}$.

Представим $15$ как $3\cdot5$ и сократим одинаковые множители: $$(3\cdot5)^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ $$3^{\cos x}\cdot5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot5^{\sin x}$$ Так как $3^{\cos x}>0$, разделим на $3^{\cos x}$: $$5^{\cos x}=5^{\sin x} \Leftrightarrow \cos x=\sin x \;\;\Leftrightarrow\;\; \tan x=1 \;\;\Rightarrow\;\; x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[5\pi; \tfrac{13\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{4}+5\pi=\frac{21\pi}{4},\qquad \frac{\pi}{4}+6\pi=\frac{25\pi}{4}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{21\pi}{4},\;\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ: а) $x=\tfrac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z};$    б) $\tfrac{21\pi}{4},\; \tfrac{25\pi}{4}$.

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\sin 2x + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$$ $$2\sin x \cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos x = -1 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pi + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

a) Перейдём ко всем логарифмам по основанию 4.

Заметим: $$\log_{16}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 16} = \frac{\log_4(x+2)}{2},$$ $$\log_{0{,}5}(x+2) = \frac{\log_4(x+2)}{\log_4 0{,}5} = \frac{\log_4(x+2)}{-\frac12} = -2\log_4(x+2).$$

Сделаем замену $t = \log_4(x+2)$. Тогда: $$4t^3 + 16\cdot\left(\frac{t}{2}\right)^2 + 0{,}5\cdot(-2t) = 1,$$ $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = 0.$$

Разложим на множители: $$4t^3 + 4t^2 - t - 1 = (4t^2 - 1)(t + 1) = (2t-1)(2t+1)(t+1).$$

Корни: $$t_1 = -1, \quad t_2 = \frac12, \quad t_3 = -\frac12.$$

Обратная замена:

1. $t = -1$: $\log_4(x+2) = -1 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1} = \frac14 \; \Rightarrow \; x_1 = -\frac74 = -1{,}75$.
2. $t = \frac12$: $\log_4(x+2) = \frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{1/2} = 2 \; \Rightarrow \; x_2 = 0$.
3. $t = -\frac12$: $\log_4(x+2) = -\frac12 \; \Rightarrow \; x+2 = 4^{-1/2} = \frac12 \; \Rightarrow \; x_3 = -\frac32 = -1{,}5$.

Итак, корни уравнения: $$-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0{,}4}4; \; \log_4 0{,}4]$.

Оценим границы отрезка.

$$\log_{0{,}4}4 = \log_{\frac{2}{5}}4.$$ Так как $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1} = 2{,}5 < 4$ и $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1{,}5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{1{,}5} > 4$, то $$-1{,}5 < \log_{0{,}4}4 < -1.$$ $$\log_4 0{,}4 = \log_4 \frac{2}{5}.$$ Так как $4^{-1} = 0{,}25 < 0{,}4$ и $4^{-0{,}5} = 0{,}5 > 0{,}4$, то $$-1 < \log_4 0{,}4 < -0{,}5.$$

Проверим каждый корень:

$$x_1 = -1{,}75 < \log_{0{,}4}4 \quad \Rightarrow \quad x_1 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_2 = 0 > \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_2 \notin [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4],$$ $$x_3 = -1{,}5: \quad \log_{0{,}4}4 < -1{,}5 < \log_4 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad x_3 \in [\log_{0{,}4}4; \log_4 0{,}4].$$

Ответ: а) $-1{,}75; \; -1{,}5; \; 0.$
б) $-1{,}5$

a) Упростим уравнение, используя формулу приведения: $$\sin \left( 2x - \frac{3\pi}{2} \right) = \cos 2x$$

Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, уравнение принимает вид: $$\sin 2x \cdot \sin 4x - \frac{1}{2} \cos 4x = \cos 2x$$

Используем формулу $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$: $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2} \cos 4x = \cos 2x$$

Используем формулу $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$: $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 2x) = \cos 2x$$ $$2\sin^2 2x \cos 2x - \frac{1}{2} + \sin^2 2x = \cos 2x$$

Переносим все в одну сторону: $$2\sin^2 2x \cos 2x + \sin^2 2x - \cos 2x - \frac{1}{2} = 0$$

Группируем: $$\sin^2 2x (2\cos 2x + 1) - (\cos 2x + \frac{1}{2}) = 0$$

Замечаем, что $\cos 2x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(2\cos 2x + 1)$: $$(2\cos 2x + 1)(\sin^2 2x - \frac{1}{2}) = 0$$

Решаем первое уравнение: $$2\cos 2x + 1 = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решаем второе уравнение: $$\sin^2 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin 2x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Таким образом получаем: $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2} \right]$ с помощью неравенства:

1. Для $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \ k \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{28\pi}{8} &\le \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi}{8}k \le -\frac{20\pi}{8} \\ -\frac{28\pi}{8} - \frac{\pi}{8} &\le \frac{2\pi}{8}k \le -\frac{20\pi}{8} - \frac{\pi}{8} \\ -\frac{29\pi}{8} &\le \frac{\pi}{4}k \le -\frac{21\pi}{8} \\ -\frac{29}{2} &\le k \le -\frac{21}{2} \quad \Rightarrow \quad k = -14, -13, -12, -11 \end{align*}$$ Вычисляем: $k = -14$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{14\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{28\pi}{8} = -\frac{27\pi}{8}$ $k = -13$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{13\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{26\pi}{8} = -\frac{25\pi}{8}$ $k = -12$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{12\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{24\pi}{8} = -\frac{23\pi}{8}$ $k = -11$: $x = \frac{\pi}{8} - \frac{11\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{22\pi}{8} = -\frac{21\pi}{8}$
2. Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le \frac{\pi}{3} + \pi k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{21\pi}{6} &\le \frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \\ -\frac{21\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} &\le \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \\ -\frac{23\pi}{6} &\le \pi k \le -\frac{17\pi}{6} \\ -\frac{23}{6} &\le k \le -\frac{17}{6} \quad \Rightarrow \quad k = -3 \end{align*}$$ Вычисляем: $$k = -3: \quad x = \frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{8\pi}{3}$$
3. Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$: $$\begin{align*} -\frac{7\pi}{2} &\le -\frac{\pi}{3} + \pi k \le -\frac{5\pi}{2} \\ -\frac{21\pi}{6} &\le -\frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} \\ -\frac{21\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} &\le \frac{6\pi k}{6} \le -\frac{15\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} \\ -\frac{19\pi}{6} &\le \pi k \le -\frac{13\pi}{6} \\ -\frac{19}{6} &\le k \le -\frac{13}{6} \quad \Rightarrow \quad k = -3, -2 \end{align*}$$ Вычисляем: $k = -3$: $x = -\frac{\pi}{3} - 3\pi = -\frac{10\pi}{3}$ $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$    (не входит, так как $-\frac{7\pi}{3} > -\frac{5\pi}{2}$)

Корни, принадлежащие отрезку
$${-\frac{27\pi}{8},\ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{25\pi}{8},\ -\frac{23\pi}{8},\ -\frac{8\pi}{3},\ -\frac{21\pi}{8}}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k, \ k \in \mathbb{Z}; \ -\frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{\pi}{3} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{27\pi}{8},\ -\frac{10\pi}{3},\ -\frac{25\pi}{8},\ -\frac{23\pi}{8},\ -\frac{8\pi}{3},\ -\frac{21\pi}{8}$