Уравнения

а) Преобразуем левую часть, используя формулу произведения синусов: $$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos x] = -\frac{1}{2}\cos x.$$

Тогда левая часть уравнения: $$2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\left[-\frac{1}{2}\cos x\right]^2 = 2\cdot\frac{1}{4}\cos^2 x = \frac{1}{2}\cos^2 x.$$

Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{2}\cos^2 x = \cos^4 x.$$ $$\cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x = 0.$$ $$\cos^2 x\left(\cos^2 x - \frac{1}{2}\right) = 0.$$

1. $\cos^2 x = 0$: $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $\cos^2 x = \frac{1}{2}$: $$\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом получаем:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -2\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: $$-3\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$$

Для $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$$

Для $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) $-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$

а) (*): $x \neq 0$.

Преобразуем логарифмы: $$\log_{0.5}^2 (x^2) = \left(\log_{1/2} x^2\right)^2 = \left(-2\log_2 |x|\right)^2 = 4(\log_2 |x|)^2.$$ $$4\log_8 (x^4) = 4 \cdot 4\log_8 |x| = 16\log_8 |x| = 16 \cdot \frac{\log_2 |x|}{3} = \frac{16}{3}\log_2 |x|.$$

Подставляем в уравнение: $$4(\log_2 |x|)^2 - \frac{16}{3}\log_2 |x| = 1.$$ $$12(\log_2 |x|)^2 - 16\log_2 |x| - 3 = 0.$$

Замена $t = \log_2 |x|$: $$12t^2 - 16t - 3 = 0.$$ $$D = 256 + 144 = 400, \quad \sqrt{D} = 20.$$ $$t = \frac{16 \pm 20}{24}.$$ $$t_1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6}.$$

Возвращаемся к $|x|$: $$\log_2 |x| = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.$$ $$\log_2 |x| = -\frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad |x| = 2^{-1/6} = \frac{1}{\sqrt[6]{2}} = \sqrt[6]{\frac{1}{2}} = \sqrt[6]{0,5}.$$

Таким образом: $$x = \pm 2\sqrt{2}, \quad x = \pm \sqrt[6]{0,5}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-0,9; 2,9]$ с помощью неравенств:

1. Для $x = -2\sqrt{2} \approx -2,83$: $$-0,9 \leq -2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -2,83 \leq 2,9 \quad \text{— неверно}.$$

2. Для $x = -\sqrt[6]{0,5} \approx -0,89$: $$-0,9 \leq -\sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq -0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

3. Для $x = \sqrt[6]{0,5} \approx 0,89$: $$-0,9 \leq \sqrt[6]{0,5} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 0,89 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

4. Для $x = 2\sqrt{2} \approx 2,83$: $$-0,9 \leq 2\sqrt{2} \leq 2,9 \quad \Rightarrow \quad -0,9 \leq 2,83 \leq 2,9 \quad \text{— верно}.$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$$

Ответ: а) $-2\sqrt{2},\; -\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}.$

{б)} $-\sqrt[6]{0,5},\; \sqrt[6]{0,5},\; 2\sqrt{2}$.

а) Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $\sqrt{16 - 25x^2} = 0$: $$16 - 25x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{16}{25} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{4}{5} = \pm0.8.$$

2. $9^{3x+2} - 163 \cdot 27^x + 2 = 0$: $$9^{3x+2} = 81 \cdot 9^{3x} = 81 \cdot 3^{6x}, \quad 27^x = 3^{3x}.$$ Тогда уравнение принимает вид: $$81 \cdot 3^{6x} - 163 \cdot 3^{3x} + 2 = 0.$$ Сделаем замену $t = 3^{3x} > 0$: $$81 t^2 - 163 t + 2 = 0,$$ $$D = 163^2 - 4 \cdot 81 \cdot 2 = 25921 = 161^2,$$ $$t_{1,2} = \frac{163 \pm 161}{162}, \quad t_1 = 2, \quad t_2 = \frac{1}{81}.$$

Возвращаемся к $x$: $$3^{3x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\log_3 2}{3},$$ $$3^{3x} = \frac{1}{81} = 3^{-4} \quad \Rightarrow \quad 3x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3}.$$

Учтём, что выражение $\sqrt{16 - 25x^2}$ определено при $16 - 25x^2 \geq 0$, т.е. при $|x| \leq 0.8$. Значит, корень $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он не входит в ответ.

Итак, корни уравнения: $$x = -0.8, \; x = 0.8, \; x = \frac{\log_3 2}{3}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 0.4; 4 \right]$:

$x = -0.8 \notin [0.4; 4]$.

$x = 0.8 \in [0.4; 4]$.

$x = \frac{\log_3 2}{3} \approx 0.21 < 0.4$ → не принадлежит отрезку.

Корень, принадлежащий отрезку: $0.8.$

Ответ: а) $-0.8, \; \frac{\log_3 2}{3}, \; 0.8;$

б) $0.8.$

а) Преобразуем уравнение: $$\cos x \cdot \cos 2x - \sin^2 x - \cos x = 0.$$ Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$\cos x \cdot (2\cos^2 x - 1) - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - \cos x - \sin^2 x - \cos x = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - \sin^2 x = 0.$$ Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2\cos^3 x - 2\cos x - (1 - \cos^2 x) = 0,$$ $$2\cos^3 x - 2\cos x - 1 + \cos^2 x = 0,$$ $$2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0.$$ Сгруппируем: $$(2\cos^3 x - 2\cos x) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$2\cos x(\cos^2 x - 1) + (\cos^2 x - 1) = 0,$$ $$(\cos^2 x - 1)(2\cos x + 1) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos^2 x - 1 = 0$: $$\cos^2 x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\cos x + 1 = 0$: $$\cos x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $$x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$-\pi - \frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$$

Ответ: а) $\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z};$

б) $-2\pi; \; -\frac{4\pi}{3}; \; -\pi.$

а) Используем формулу приведения: $$\cos\left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin 2x = -2\sin x \cos x.$$

Подставляем в уравнение: $$4\sqrt{3} \cos^3 x = -2\sin x \cos x.$$

Переносим все в одну сторону и группируем: $$4\sqrt{3} \cos^3 x + 2\sin x \cos x = 0.$$ $$2\cos x \left( 2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x \right) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos x = 0$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0$ $$2\sqrt{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0$$ $$2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0$$

Пусть $t = \sin x$, тогда: $$2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0$$ $$D = 1 + 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 1 + 48 = 49$$ $$t = \frac{1 \pm 7}{4\sqrt{3}}$$ $$t_1 = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \quad \text{— нет решений},$$ $$t_2 = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Таким образом: $$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},$$ $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности.

$$- 3\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку:

$${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3}; -\frac{5\pi}{2}}.$$

Ответ: а) ${\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z};\quad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${-\frac{7\pi}{2}; -\frac{8\pi}{3};-\frac{5\pi}{2}}.$