Неравенства

Пусть $t=2^x$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8}\geq \frac{16t+96}{(t-8)(t+8)}$$

$$\frac{(t+8)^2+(t-8)^2-(16t+96)}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{(t^2+16t+64)+(t^2-16t+64)-16t-96}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2t^2-16t+32}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

$$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\geq 0$$

Заметим, что $t=2^x>0$, поэтому домножим обе части неравенства на заведомо положительное выражение $t+8$ и поделим на $2$, получим

$$\frac{(t-4)^2}{t-8}\geq 0.$$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Тогда решением неравенства будет совокупность:

$$\left[ \begin{array}{l} t=4\\ t>8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^x=2^2\\ 2^x>2^3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2\\ x>3 \end{array} \right.$$

Получим $x\in\{2\}\cup(3;+\infty)$.

Ответ:

$$\{2\}\cup(3;+\infty)$$

Составим таблицу, обозначив за $S$ руб. сумму кредита, за $x$ руб. — ежегодный платёж, а за $k=1+\dfrac{25}{100}=\dfrac54$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. до}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \begin{array}{c} \text{Долг в руб. после}\\ \text{начисления \%} \end{array} & \text{Платёж в руб.} \\ \hline 1 & S & kS & x \\ \hline 2 & kS-x & k^2S-kx & x \\ \hline 3 & k^2S-kx-x & k^3S-k^2x-kx & x \\ \hline \end{array}$$

Так как в конце третьего года кредит будет погашен, то

$$k^3S-k^2x-kx=x$$

$$x\left(k^2+k+1\right)=k^3S$$

$$x\frac{k^3-1}{k-1}=k^3S$$

$$x=Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$$

$$3x=3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1}$$

Мы знаем, что $k=\dfrac54$. Преобразуем правую часть:

$$3Sk^3\frac{k-1}{k^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot \frac{\frac14}{\left(\frac54\right)^3-1} = 3S\cdot\frac{5^3}{4^3}\cdot\frac{4^2}{5^3-4^3} = \frac{375}{244}S$$

Заметим, что за три года банку заплатили $3x$ рублей, тогда $3x=S+65500$. Подставим это в выражение для $3x$:

$$S+65500=\frac{375}{244}S$$

$$65500=\frac{131}{244}S$$

$$S=\frac{65500\cdot244}{131}$$

$$S=122000$$

Ответ: $122000$

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB$. Также центр $O$ лежит на диаметре $BC$.

Рассмотрим четырехугольник $ANBO$. В нем $\angle OAN=90^\circ=\angle OBN$, так как радиусы $OA$ и $OB$, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180^\circ$, следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $\angle ANO=\angle ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

$$\angle ANB=2\angle ANO=2\angle ABO=2\angle ABC.$$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

$$\tg \angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.$$

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO$. Заметим, что $NA=NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $\angle AHN=90^\circ$ и $AH=BH=26$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $AHN$ имеем:

$$\frac{AH}{NH}=\tg \angle ANH=\tg \angle ABC=\frac{3}{13}$$

$$NH=\frac{13AH}{3}=\frac{13\cdot 26}{3}=\frac{338}{3}.$$

Ответ:

б) $\dfrac{338}{3}$

При $a\le 0$ первое уравнение системы имеет не более одного решения, значит, и вся система тоже имеет не более одного решения. Тогда решим задачу графически при $a>0$. Исследуем первое уравнение:

$$|y| + |x| = a \begin{cases} y = -|x| + a\\ y \ge 0\\ y = |x| - a\\ y < 0 \end{cases}$$

Таким образом, графиком этого уравнения является квадрат $ABCD$ с вершинами в точках $A(-a;0)$, $B(0;a)$, $C(a;0)$, $D(0;-a)$.

Действительно, все стороны четырехугольника равны, значит, это ромб. Сторона $AB$ лежит на прямой $y=x+a$, сторона $BC$ лежит на прямой $y=-x+a$, угол между этими прямыми равен $90^\circ$, следовательно, $ABCD$ — квадрат.

Нужно найти такие $a$, при которых квадрат имеет две общие точки с графиком корня $y=\sqrt{x+9}$.

Пусть $a_i$ — значение параметра, соответствующее положению $(i)$. Тогда нам подходят

$$a\in (a_1;a_2)\cup\{a_3\}.$$

Положение $(1)$: вершина $B(0;a_1)$ находится в точке пересечения графика $y=\sqrt{x+9}$ с осью ординат. Значит,

$$a_1=\sqrt{0+9}$$

$$a_1=3$$

Положение $(2)$: вершина $A(-a_2;0)$ находится в точке пересечения графика $y=\sqrt{x+9}$ с осью абсцисс. Значит,

$$0=\sqrt{-a_2+9}$$

$$a_2=9$$

Положение $(3)$: сторона $AB$ касается графика $y=\sqrt{x+9}$. Сторона $AB$ задается уравнением $y=x+a$ при $-a\le x\le 0$. Прямая касается графика корня, если система

$$\begin{cases} \sqrt{x+9}=x+a_3\\ \dfrac{1}{2\sqrt{x+9}}=1 \end{cases}$$ имеет решения. Значит,

$$\begin{cases} \sqrt{x+9}=x+a_3\\ \sqrt{x+9}=\dfrac12 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x+a_3=\dfrac12\\ x+9=\dfrac14 \end{cases}$$

$$\begin{cases} x+a_3=\dfrac12\\ x=-\dfrac{35}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} a_3=\dfrac{37}{4}\\ x=-\dfrac{35}{4} \end{cases}$$

Тогда

$$y=x+a_3=-\dfrac{35}{4}+\dfrac{37}{4}=\dfrac12.$$

Точка $\left(-\dfrac{35}{4};\dfrac12\right)$ действительно лежит на отрезке $AB$, так как её координаты обращают уравнение $y=x+a_3$ в верное равенство и $-a_3\le x\le 0$. Также она лежит на графике функции $y=\sqrt{x+9}$, так как её координаты обращают это уравнение в верное равенство.

Следовательно, нам подходят значения параметра

$$a\in (3;9)\cup\left\{\dfrac{37}{4}\right\}$$

Ответ:

$$a\in (3;9)\cup\left\{\dfrac{37}{4}\right\}$$

а) Если в порту всего 10 контейнеров массой 20 тонн и 5 контейнеров массой 80 тонн, причём только 3 контейнера массой 80 тонн заполнены сахарным песком, то количество контейнеров с сахарным песком составляет $$3 : (10 + 5)\cdot 100\% = 20\%$$ от общего количества контейнеров.

Масса контейнеров с сахарным песком равна: $$3\cdot 80 = 240$$ тонн, масса всех контейнеров равна $$10\cdot 20 + 5\cdot 80 = 600$$ тонн, а значит, масса контейнеров с сахарным песком составляет $$240 : 600\cdot 100\% = 40\%$$ от общей массы всех контейнеров.

б) Предположим, что в порту было $x$ контейнеров массой 20 тонн и $y$ контейнеров массой 80 тонн, среди которых с сахарным песком было $a$ контейнеров массой 20 тонн и $b$ контейнеров массой 80 тонн. Если масса контейнеров с сахарным песком составляла 80% от общей массы контейнеров, то должна выполняться система уравнений: $$\begin{cases} a + b = 0{,}2(x + y)\\ 20a + 80b = 0{,}8(20x + 80y) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ 20a + 80b = 16x + 64y \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ 20a + 80b - (80a + 80b) = 16x + 64y - (16x + 16y) \end{cases}$$

$$\begin{cases} 5a + 5b = x + y\\ -60a = 48y \end{cases}$$

Поскольку $a \ge 0$ и $y \ge b \ge 0$, то равенство $-60a = 48y$ выполняется только при $a = y = b = 0$. Из первого уравнения системы следует, что $x = 0$.

Получили: $a = b = y = x = 0$, что невозможно.

Следовательно, масса контейнеров с сахарным песком не может составить 80% от общей массы контейнеров.

в) Масса контейнеров с сахарным песком будет составлять наибольшую долю от массы всех контейнеров в случае, когда масса каждого контейнера с сахарным песком равна 80 тонн. Тогда $a = 0$, значит, $5b = x + y$. Нам нужно найти наибольшее значение величины $$n = \frac{20a + 80b}{20x + 80y} = \frac{4b}{x + 4y} = \frac{4b}{5b + 3y}.$$

Наибольшее значение дроби достигается при наименьшей величине знаменателя. Мы знаем, что $y \ge b$, поэтому $$n_{\max} = \frac{4b}{5b + 3b} = \frac{4b}{8b} = 0{,}5$$

Значит, масса контейнеров с сахарным песком может составлять не более 50% от общей массы контейнеров.

Пусть в порту $b = 1$ контейнер массой в 80 тонн, который заполнен сахарным песком и $x = 5b - y = 5b - b = 4$ контейнера массой в 20 тонн, которые заполнены не сахарным песком. Тогда масса контейнеров с сахарным песком составляет $$\frac{80}{80 + 4\cdot 20}\cdot 100\% = \frac{80}{160}\cdot 100\% = 50\%$$ от общей массы всех контейнеров.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) 50%