Неравенства

Хочется просто написать $x = \frac{1}{a}$, но нужно проявить осторожность. Ведь $a$ «никому ничем не обязано» и может равняться нулю, а на нуль делить нельзя! Поэтому решение должно выглядеть так.

Если $a = 0$, то решений нет (поскольку вне зависимости от $x$ получается неверное числовое равенство $0 = 1$). Если же $a \ne 0$, то $x = \frac{1}{a}$.

Ответ: Если $a \ne 0$, то $x = \frac{1}{a}$; если $a = 0$, то решений нет.

Имеем:

$$(a + 2)x = (a + 2)(a - 2).$$

Если $a = -2$, то независимо от $x$ получается верное числовое равенство $0 = 0$, так что в этом случае $x$ — любое число. Если же $a \ne -2$, то сокращаем обе части на ненулевое выражение $a + 2$ и получаем $x = a - 2$.

Ответ: Если $a \ne -2$, то $x = a - 2$; если $a = -2$, то $x$ любое.

Так как ОДЗ параметра множество $(-\infty;1)\cup(1;\infty)$, то при $a = 1$ уравнение (2) не имеет решений.

Замечание. Некоторые авторы считают: уравнение не имеет смысла при тех значениях параметра, которые не принадлежит ОДЗ параметра.

Преобразуем уравнение (2), если $a \ne 1$

$$ax + 2 = \frac{2}{a - 1}x + a \Leftrightarrow \frac{(a + 1)(a - 2)}{a - 1}\cdot x = a - 2 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow (a + 1)(a - 2)x = (a - 2)(a - 1). \quad (2.1)$$

Коэффициент при $x$ в уравнении (2.1) равен нулю.

1. Пусть $(a + 1)(a - 2) = 0$.

Если $a = -1$, то уравнение (2.1), а значит и уравнение (2), не имеет решений, так как уравнение (2.1) принимает вид $0\cdot x = -3$.

Если $a = 2$, то уравнение (2.1), а значит и уравнение (2), имеет бесконечное множество решений, так как уравнение (2.1) принимает вид $0\cdot x = 0$.

1. Пусть $(a + 1)(a - 2) \ne 0$.

Если $a \notin \{-1;1;2\}$, то уравнение (2) равносильно уравнению $(a + 1)x = (a - 1)$, решение которого $x = \frac{a - 1}{a + 1}$. В этом случае уравнение (2) имеет единственное решение $x = \frac{a - 1}{a + 1}$.

Ответ: $x = \frac{a - 1}{a + 1}$.

Перенесем все одночлены с $x$ влево, а оставшиеся члены — вправо:

$$ax - 7x = 5a - 3;$$

И вынесем $x$ за скобку, как общий множитель:

$$x \ast (a - 7) = 5a - 3;$$

Первый случай, когда $(a - 7) \ne 0 \Rightarrow a \ne 7$. Тогда мы можем поделить все уравнение на $a - 7$ и выразить:

$$x = \frac{5a - 3}{a - 7}.$$

Второй случай, когда $(a - 7) = 0 \Rightarrow a = 7$, подставим в наше уравнение:

$$x \ast (7 - 7) = 5 \ast 7 - 3,$$

$$x \ast 0 = 32,$$

$$0 = 32;$$

Получили неверное равенство: уравнение не имеет решений при $a = 7$.

Таким образом, мы нашли решения уравнения для всех значений параметра $a$:

При $a \ne 7$, $x = \frac{5a - 3}{a - 7}$.

Подставляя в найденную формулу для $x$ различные значения параметра $a$ можно находить корни уравнения:

Например, $x = \frac{2}{7}$ при $a = 0$, $x = -\frac{1}{3}$ при $a = 1$ и т.д.

При $a = 7$ корней нет.

Ответ: При $a = 7$ $x \in \varnothing$;

при $a \ne 7$ $x = \frac{5a - 3}{a - 7}$.

Обратите внимание, что уравнение будет линейным, несмотря на то, что над параметром $a$ есть вторая степень. Главное, чтобы над $x$ была первая степень, так как уравнение мы решаем относительно $x$.

Раскроем скобки и перенесем все члены, содержащие $x$, влево, а остальные — вправо.

$$ax - 6x + 5x = -5a + 4 + a^2$$

Приведем подобные:

$$ax - x = a^2 - 5a + 4$$

И вынесем за скобку $x$ и разложим квадратный многочлен на множители:

$$x(a - 1) = a^2 - 5a + 4$$

$$x(a - 1) = (a - 1)(a - 4)$$

Первый случай: $(a - 1) = 0 \Rightarrow a = 1$

$$x(1 - 1) = (1 - 1)(1 - 4);$$

$$x \ast 0 = 0;$$

$$0 = 0.$$

Решением уравнения будет любое число.

Второй случай: $(a - 1) \ne 0 \Rightarrow a \ne 1$

$$x = \frac{(a - 1)(a - 4)}{a - 1} = a - 4.$$

Решением данного уравнения будет один корень $x = a - 4$.

По условию задачи необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых решением уравнения будут любые числа: при $a = 1$ у нас как раз получилось то, что нужно.

Ответ:

$$a = 1.$$