Неравенства

Используем формулу:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Здесь $a = x^2$, $b = 2y$.

Тогда

$$(x^2 + 2y)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2 \cdot 2y + 3x^2 \cdot (2y)^2 + (2y)^3$$

$$= x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3$$

Теперь вычитаем $x^6$:

$$x^6 + 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3 - x^6 = 6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3$$

Ответ:

$$6x^4y + 12x^2y^2 + 8y^3$$

Применяем формулу:

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Здесь $a = 2a$, $b = 3b^2$.

Тогда

$$(2a - 3b^2)^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3b^2) + 3(2a)(3b^2)^2 - (3b^2)^3$$

$$= 8a^3 - 36a^2b^2 + 54ab^4 - 27b^6$$

Теперь прибавляем $27b^6$:

$$8a^3 - 36a^2b^2 + 54ab^4 - 27b^6 + 27b^6$$

$$= 8a^3 - 36a^2b^2 + 54ab^4$$

Ответ:

$$8a^3 - 36a^2b^2 + 54ab^4$$

Представим как разность кубов:

$$8p^3q^6 = (2pq^2)^3$$

$$27r^9 = (3r^3)^3$$

Применяем формулу:

$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$

Получаем:

$$8p^3q^6 - 27r^9 = (2pq^2 - 3r^3)\left((2pq^2)^2 + (2pq^2)(3r^3) + (3r^3)^2\right)$$

$$= (2pq^2 - 3r^3)(4p^2q^4 + 6pq^2r^3 + 9r^6)$$

Ответ:

$$(2pq^2 - 3r^3)(4p^2q^4 + 6pq^2r^3 + 9r^6)$$

Это сумма кубов:

$$64m^6 = (4m^2)^3$$

$$125n^3 = (5n)^3$$

Применяем формулу:

$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$

Получаем:

$$64m^6 + 125n^3 = (4m^2 + 5n)\left((4m^2)^2 - (4m^2)(5n) + (5n)^2\right)$$

$$= (4m^2 + 5n)(16m^4 - 20m^2n + 25n^2)$$

Ответ:

$$(4m^2 + 5n)(16m^4 - 20m^2n + 25n^2)$$

В числителе замечаем разность квадратов:

$$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = (a + b)^2 - c^2$$

Применяем формулу:

$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

Тогда

$$(a + b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c)$$

Подставляем:

$$\frac{(a + b - c)(a + b + c)}{a + b - c}$$

Сокращаем:

$$a + b + c$$

Ответ:

$$a + b + c$$