Неравенства

Когда скорость камня становится горизонтальной — это тот момент, когда вертикальная составляющая его скорости становится равной нулю, то есть он находится на максимальной высоте. Используем уравнение для вертикальной проекции скорости: $$v_y = v_0 \sin \alpha - gt$$ На максимуме траектории $v_y=0$, откуда: $$v_0 \sin \alpha = gt$$

Максимальная высота определяется по кинематической формуле перемещений вдоль вертикали: $$h = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}$$ Подставляя $v_0 \sin \alpha = gt$ из найденного выше, получим: $$h = gt \cdot t - \frac{gt^2}{2} = \frac{gt^2}{2}$$ Таким образом, время движения до максимальной высоты: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$ Подставляем численные значения: $h=20~\text{м}$, $g=10~\text{м/с}^2$. $$t = \sqrt{\frac{2\cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2~\text{с}$$

Ответ: $t = 2~\text{с}$

Рассмотрим движение тела по вертикали. Уравнение движения вдоль оси $y$: $$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2},$$ где $y_0 = 0$ — начальная высота (бросок с поверхности), $v_{0y}$ — вертикальная составляющая начальной скорости, $a_y = -g$.

Проекция начальной скорости на $y$: $$v_{0y} = v_0 \sin \alpha.$$

В момент падения на землю, $y(\tau) = 0$, где $\tau$ — время полёта: $$0 = v_0 \sin \alpha \cdot \tau - \frac{g \tau^2}{2}$$ $$g \tau^2 = 2 v_0 \sin \alpha \cdot \tau$$ $$\tau = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}$$

Подставим значения: $v_0 = 10~\text{м/с}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10~\text{м/с}^2$ $$\tau = \frac{2 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ}{10} = \frac{20 \cdot 0{,}5}{10} = 1~\text{с}$$

Ответ: $1~\text{с}$

Обоснование:
Так как объём неизменен, используем изохорный процесс и закон Бойля-Мариотта: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$ Пусть начальная температура — $T_1$, конечная $T_2 = T_1 + 200$, давление увеличилось в 1{,}5 раза ($p_2 = 1{,}5 p_1$).

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{1.5 p_1}{T_1 + 200}$$ $$\frac{1}{T_1} = \frac{1.5}{T_1 + 200}$$ $$T_1 + 200 = 1.5 T_1$$ $$200 = 0.5 T_1 \implies T_1 = 400~\text{K}$$

Ответ: $400~\text{K}$

1. Давление $P_1$ на глубине $H$ складывается из атмосферного и гидростатического: $$P_1 = P_0 + \rho g H,$$ где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $P_0$ — атмосферное давление.

2. Для давления на глубине $h$ используем: $$P_2 = P_0 + \rho g h$$

3. Пузырик воздуха считаем идеальным газом, температура во время подъёма не меняется. Применяем закон Бойля-Мариотта для изотермы: $$P_1 V_1 = P_2 V_2$$

Подставляем выражения давлений: $$(P_0 + \rho g H)V_1 = (P_0 + \rho g h)V_2$$ $$V_2 = V_1 \cdot \frac{P_0 + \rho g H}{P_0 + \rho g h}$$

Теперь подставим численные значения, включая табличные: $$V_2 = 10^{-9}\,\text{м}^3 \cdot \frac{10^5 + 10^3 \cdot 10 \cdot 20}{10^5 + 10^3 \cdot 10 \cdot 1}$$ $$V_2 = 10^{-9}\,\text{м}^3 \cdot \frac{10^5 + 200000}{10^5 + 10000} = 10^{-9}\,\text{м}^3 \cdot \frac{300000}{110000} \approx 10^{-9}\,\text{м}^3 \cdot 2.7 = 2.7\,\text{мм}^3$$

Ответ:   $V_2 \approx 2.7~\text{мм}^3$