Неравенства

Из условия задачи нам известны следующие значения функции: $$\begin{align*} f(-2) &= 4a - 2b - 6 = -4 \\ f(1) &= a + b - 6 = -1 \end{align*}$$

Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ 2a + 2b = 10 \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$6a = 12 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ во второе уравнение: $$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$$

Теперь запишем уравнение функции: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 6$$

Вычислим $f(-6)$: $$f(-6) = 2 \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 6 = 2 \cdot 36 - 18 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$$

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из рисунка видно:

• Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$
• Парабола проходит через точку $(0, -1)$

Используем формулу параболы через вершину: $$g(x) = a(x + 1)^2 - 2$$

Подставим точку $(0, -1)$: $$-1 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$g(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Корни уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 7 \end{cases}$$

2. Вычислим ординату точки $B$: $$g(7) = 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 49 + 14 - 1 = 62$$

Ответ 62

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} g(-3) &= 2 \\ g(-1) &= -2 \\ g(2) &= 7 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} a(-3)^2 + b(-3) + c = 2 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = -2 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9a - 3b + c = 2 \\ a - b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = 7 \end{cases}$$

Решим систему:

1. Вычтем второе уравнение из первого: $$8a - 2b = 4 \quad (1)$$
2. Вычтем второе уравнение из третьего: $$3a + 3b = 9 \quad (2)$$
3. Упростим уравнения: $$\begin{cases} 4a - b = 2 \\ a + b = 3 \end{cases}$$
4. Сложим уравнения: $$5a = 5 \Rightarrow a = 1$$
5. Подставим $a = 1$ во второе уравнение: $$1 + b = 3 \Rightarrow b = 2$$
6. Найдём $c$ из второго исходного уравнения: $$1 - 2 + c = -2 \Rightarrow c = -1$$

Таким образом: $$g(x) = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ $$D = 81 - 56 = 25$$ $$x = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \quad \text{(точка A)} \\ x_2 = 7 \quad \text{(точка B)} \end{cases}$$

Ответ 7

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 2, \quad x = \pm3 ...$$

Подставим $x = 1$: $$(1)^3 +6\cdot1^2 -1 - 6 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x^2 + 7x +6) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^2 + 7x +6 = 0$$

Разложим вторую скобку на множители: $$D = 49 - 4\cdot1\cdot6 = 49 - 24 = 25 = 5^2$$ $$x = \frac{-7 \pm 5}{2} \Rightarrow x = -1, \quad x = -6$$

Ответ: $\{-6; -1; 1\}$

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 3$$

Подставим $x = 1$: $$2\cdot(1)^3 + 1^2 -3 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(2x^2 + 3x + 3) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } 2x^2 + 3x + 3 = 0$$

Разложим вторую скобку на множители: $$D = 9 - 4\cdot2\cdot3 = -15 < 0$$ Выходит, что единственный корень уравнения это $x = 1$

Ответ: $1$;