Неравенства

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 2, \quad x = \pm4$$

Подставим $x = 1$: $$(1)^3 +6\cdot1^2 -1 - 6 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x^3 -x^2 - 8x -4) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^3 - x^2 - 8x - 4 = 0$$

Теперь попробуем подобрать корень второй скобки: $$x = \pm1, \quad x = \pm2, \quad x = \pm 4$$

Подставим $x = 1$: $$1^3 - (1)^2 - 8\cdot1 - 4 = 1 - 13 = -12 \neq 0$$

Подставим $x = -1$: $$(-1)^3 - (-1)^2 -8\cdot(-1) - 4 = -6 + 8 = -2 \neq 0$$

Подставим $x = 2$: $$2^3 - (2)^2 - 8 \cdot(2) - 4 = 8 - 4 - 16 - 4 = -16 \neq 0$$

Подставим $x = -2$: $$(-2)^3 -(-2)^2 - 8\cdot(-2) - 4 = -8 - 4 + 16 - 4 = 0$$

Мы подобрали корень $x = -2$. Теперь поделим многочлен второй скобки на $(x + 2)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 2) = 0$$

Попробуем разложить $x^2 - 3x - 2$ на множители: $$D = 9 - 4\cdot1\cdot(-2) = 17$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Ответ: $\{-2; \tfrac{3 - \sqrt{17}}{2}; 1; \tfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\}$

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$

Проверим $x = 1$:

Остаток равен $0$, значит $x = 1$ — корень

В итоге получаем: $(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^2 - 5x + 6 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$D = 25 - 24 = 1$$ $$x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 3, \quad x = 2$$

Ответ: $\{1; 2; 3\}$

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm4...$

Проверим $x = 2$:

Остаток равен $0$, значит $x = 2$ — корень

В итоге получаем: $(x - 2)(x^2 + 4x - 32) = 0$ $$x - 2 = 0 \text{ или } x^2 + 4x - 32 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$x^2 + 4x - 32 = 0$$ $$D = 16 + 4\cdot32 = 144$$ $$x = \frac{-4 \pm 12}{2} \Rightarrow x = -8, \quad x = 4$$

Ответ: $\{-8; 2; 4\}$

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm3...$

Проверим $x = -1$:

Остаток равен $0$, значит $x = -1$ — корень

В итоге получаем: $(x + 1)(3x^2 + 7x - 6) = 0$ $$x + 1 = 0 \text{ или } 3x^2 + 7x - 6 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$3x^2 + 7x - 6 = 0$$ $$D = 49 + 4\cdot3\cdot6 = 121 = 11^2$$ $$x = \frac{-7 \pm 11}{6} \Rightarrow x = -3, \quad x = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\{-3; -1; \tfrac{2}{3}\}$

Возможные корни: $\pm1, \pm2, \pm 3..$

Проверим $x = 1$:

В итоге получаем два множителя: $$(x - 1)(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) = 0$$ $$x = 1 \text{ или } x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0$$

Разложим правую скобку на множители. Возможыне корни: $$\pm1, \pm2, \pm3..$$

Проверим $x = 2$:

Значит, $x = 2$ также является корнем уравнения.

Получаем, что первые 2 корня уравнения это $x = 1, x = 2$ и коэффициенты оставшегося многочлена равны $a = 1, b = -7, c = 12$

Получаем: $$(x - 1)(x - 2)(x ^2 - 7x + 12) = 0$$

По теореме Виета подбираем корни для правой скобки: $$x = 3, \quad x = 4$$

В итоге: $$(x-1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 0$$

Ответ: $\{1; 2; 3; 4\}$