Неравенства

1. Подставляем известные значения в формулу для температуры: $$1720 = 1300 + 98t - \frac{14}{3}t^2$$
2. Переносим все слагаемые в левую часть: $$1720 - 1300 - 98t + \frac{14}{3}t^2 = 0$$ $$420 - 98t + \frac{14}{3}t^2 = 0$$
3. Умножаем уравнение на 3 для устранения дроби: $$1260 - 294t + 14t^2 = 0$$
4. Делим все коэффициенты на 14: $$t^2 - 21t + 90 = 0$$
5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 441 - 360 = 81$$ $$t = \frac{21 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{21 \pm 9}{2}$$
6. Находим два корня: $$t_1 = \frac{21 + 9}{2} = 15 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{21 - 9}{2} = 6$$
7. Анализируем решение: - При $t = 6$ минут температура достигает 1720 К - При $t > 6$ температура начинает снижаться (так как коэффициент при $t^2$ отрицательный)

Ответ. 6

Найдём коэффициент $k$: Из условия известно, что $f(4) = 5$. Подставим в уравнение функции: $$k \cdot \sqrt{4} = 5$$ $$k \cdot 2 = 5$$ $$k = \frac{5}{2} = 2,\!5$$

Запишем уравнение функции: $$f(x) = 2,\!5 \cdot \sqrt{x}$$

Найдём $x$ при $f(x) = 3,\!5$: $$2,\!5 \cdot \sqrt{x} = 3,\!5$$ $$\sqrt{x} = \frac{3,\!5}{2,\!5} = 1,\!4$$ $$x = (1,\!4)^2 = 1,\!96$$

Ответ 1,96

1. Найдём коэффициент $k$: Из условия известно, что $f(4) = 5$. Подставим в уравнение функции: $$k \cdot \sqrt{4} = 5$$ $$k \cdot 2 = 5$$ $$k = \frac{5}{2} = 2,\!5$$

2. Запишем уравнение функции: $$f(x) = 2,\!5 \cdot \sqrt{x}$$

3. Вычислим $f(6,\!76)$: $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot \sqrt{6,\!76}$$ $$\sqrt{6,\!76} = 2,\!6 \quad \text{(так как \( 2,\!6^2 = 6,\!76 \))}$$ $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot 2,\!6 = 6,\!5$$

Ответ 6,5

Определим параметры функции: Из условия известны две точки: $$\begin{align*} f(2) &= -2 \\ f(4) &= -1 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} b + \log_a 2 = -2 \\ b + \log_a 4 = -1 \end{cases}$$

Решим систему: Вычтем первое уравнение из второго: $$\log_a 4 - \log_a 2 = 1 \Rightarrow \log_a \left(\frac{4}{2}\right) = 1 \Rightarrow \log_a 2 = 1 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $$b + \log_2 2 = -2 \Rightarrow b + 1 = -2 \Rightarrow b = -3$$

Запишем уравнение функции: $$f(x) = -3 + \log_2 x$$

Найдём $x$ при $f(x) = 1$: $$1 = -3 + \log_2 x \Rightarrow \log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$$

Ответ 16

$$(*) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0 \\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\ln(3a - x)\left(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \end{aligned} \right.$$

1. Первое уравнение: $$\ln(3a - x) = 0 \Rightarrow 3a - x = 1 \Rightarrow x = 3a - 1$$

Проверим условия для $x = 3a - 1$: $$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0 \\ (3a - 1) - a > 0 \\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0 \\ 2a - 1 > 0 \\ \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Rightarrow a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$$

1. Второе уравнение: $$\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \Rightarrow 2x + 2a - 5 = x - a \Rightarrow x = 5 - 3a$$

Проверим условия для $x = 5 - 3a$: $$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0 \\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0 \\ 1 \leq a \leq \frac{5}{3} \end{cases} \Rightarrow a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$$

Проверим совпадение корней: $$3a - 1 = 5 - 3a \Rightarrow a = 1$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 2]$ при: $$a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$$

Ответ: $\left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$