Неравенства

1. Найдём коэффициент $k$: Из условия известно, что $f(4) = 5$. Подставим в уравнение функции: $$k \cdot \sqrt{4} = 5$$ $$k \cdot 2 = 5$$ $$k = \frac{5}{2} = 2,\!5$$

2. Запишем уравнение функции: $$f(x) = 2,\!5 \cdot \sqrt{x}$$

3. Вычислим $f(6,\!76)$: $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot \sqrt{6,\!76}$$ $$\sqrt{6,\!76} = 2,\!6 \quad \text{(так как \( 2,\!6^2 = 6,\!76 \))}$$ $$f(6,\!76) = 2,\!5 \cdot 2,\!6 = 6,\!5$$

Ответ 6.5

1. Определим параметр $b$ функции. Из графика видно, что при $x = 0$ значение функции равно $-1$: $$f(0) = a \sin 0 + b = -1 \Rightarrow a \cdot 0 + b = -1 \Rightarrow b = -1$$

2. Определим параметр $a$ функции. Из графика известно, что при $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции равно $-3$: $$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) + b = -3 \Rightarrow a \cdot 1 - 1 = -3 \Rightarrow a = -2$$

3. Таким образом, функция имеет вид: $$f(x) = -2 \sin x - 1$$

4. Вычислим значение функции в точке $\frac{25\pi}{6}$: $$\begin{align*} \frac{25\pi}{6} &= 4\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{(так как \(4\pi = \frac{24\pi}{6}\))} \\ \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right) &= \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \end{align*}$$

5. Подставляем в функцию: $$f\left(\frac{25\pi}{6}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = -1 - 1 = -2$$

Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

Производная $f′(x_0)$ в точке$(x_0)$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $y = f(x)$ в этой точке.

Алгебраический смысл производной — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если записать формулой:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Простыми словами:
Производная показывает, как быстро меняется значение функции $f(x)$ при изменении $x$ в окрестности точки $x_0$.

• Если $f'(x_0) > 0$ — функция возрастает в этой точке.
• Если $f'(x_0) < 0$ — функция убывает.
• Если $f'(x_0) = 0$ — возможно экстремум или постоянство.

Физический смысл производной — это мгновенная скорость изменения величины.

Если $s(t)$ — путь, зависящий от времени, то:

$$v(t) = s'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$$

Простыми словами:
Производная показывает, как быстро меняется физическая величина в данный момент времени.

• $s'(t)$ — мгновенная скорость (как быстро меняется путь)
• $v'(t)$ — ускорение (как быстро меняется скорость)

Пример:
Если $s(t) = t^2$ м, то скорость $v(t) = 2t$ м/с. При $t = 3$ с: $v = 6$ м/с.