Неравенства

Воспользуемся свойством биссектрисы для $CD$: $$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$$

Отсюда: $$\frac{BD}{AB} = \frac{a}{a + b}$$

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $ABC$.

Они подобны по двум углам $(\angle BED = \angle BCA \text { и } \angle BAC = \angle BDE)$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $DE$.

Запишем соответствующие отношения: $$\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow DE = \frac{BD}{AB}\cdot AC = \frac{a}{a + b}\cdot b = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: $\frac{ab}{a + b}$

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма за $M$, а пересечение прямых $ME$ и $AD$ за $K$.

По условию $ME \perp BC$.

Рассмотрим треугольники $KFA$ и $EFB$. Углы $FEB$ и $FKA$ равны $90^\circ$. Углы $FBE$ и $KAF$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Обозначим искомый отрезок $BE$ за $x$.

Рассмотрим треугольники $BMC$ и $AMD$. Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KD = BE = x$, тогда: $$AD - KD = b - x$$ Из подобия треугольников $FBE$ и $FKA$ следует: $$\frac{BE}{AK} = \frac{BF}{AF} \Leftrightarrow \frac{x}{b - x} = \frac{c}{a + c} \Leftrightarrow x(a + c) = cb - cx \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x(a + 2c) = cb \Leftrightarrow x = \frac{cb}{a + 2c}$$

Ответ: $\frac{cb}{a + 2c}$

Треугольники $BDE$ и $BAC$ подобны по двум углам.

Площади этих треугольников относятся как коэффициент их подобия в квадрате. $$\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = k^2$$ По условию: $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}} = \frac{1}{2}$

Откуда: $$k^2 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$$

Из подобия треугольников: $$\frac{DE}{AC} = k \Leftrightarrow DE = 36\cdot\frac{\sqrt2}{2} = 18\sqrt2$$

Ответ: $18\sqrt2$

Обозначим за $x$ сторону квадрата $DEFG$.

Тогда: $$BI = BH - IH =h - x$$

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$. Они подобны по двум углам ($\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$ и $\angle BED = \angle BCA$ аналогичным образом).

Значит стороны этих треугольников (а также и их высоты) пропорциональны.

Тогда: $$\frac{DE}{AC} = \frac{BI}{BH} \Leftrightarrow\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h} \Leftrightarrow x(h + a) = ah \Leftrightarrow x = \frac{ah}{a + h}$$

Ответ: $\frac{ah}{a + h}$

$y' = (5\cos x-6x+4)' = 5(\cos x)' - 6(x)' + (4)' = -5\sin x - 6 + 0 = -5\sin x - 6$