Неравенства

Поскольку $f=30$, имеем:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}.$$

Наименьшему возможному $d_1$ значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность $\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$ в правой части достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого $\frac{1}{d_2}$, которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя $d_2$. Поэтому $d_2=180$, откуда

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{36}\Leftrightarrow d_1=36\text{ см.}$$

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от $30$ до $50$ см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.

Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому составляет $2$ км/ч. Пусть $u$ км/ч — скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна $u+2$ км/ч, а скорость яхты против течения равна $u-2$ км/ч, причем $u>2$. Яхта, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$, а плоту, чтобы пройти те же $24$ км, понадобилось на час больше времени. Составим и решим уравнение:

$$\frac{120}{u+2}+\frac{120}{u-2}+1=\frac{24}{2}\Leftrightarrow \frac{240u}{u^2-4}=11 \Leftrightarrow 11u^2-240u-44=0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} u=\dfrac{240+\sqrt{240^2+44^2}}{22}=22;\\ u=\dfrac{240-\sqrt{240^2+44^2}}{22}=-\dfrac{2}{11} \end{cases} \Leftrightarrow u=22.$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=\frac{5}{x+5}-5.$$

Найдем нули производной:

$$\frac{5}{x+5}-5=0 \Leftrightarrow x=-4.$$

Определим знаки производной и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=-4.$

О т в е т: $-4$.

а) Пусть $t=9^{\cos x}$, тогда:

$$9t^2-28t+3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{1}{9},\\ t=3. \end{array} \right.$$

Вернемся к исходной переменной:

$$\left[ \begin{array}{l} 9^{\cos x}=\frac{1}{9},\\ 9^{\cos x}=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pi+2\pi k,\\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right.$$

б) Корни, принадлежащие промежутку $\left[\frac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$, отберем на тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа $3\pi,\ \frac{11\pi}{3}$.

О т в е т: а) $\left\{\pi+2\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k:\ k\in\mathbb{Z}\right\}$; б) $3\pi;\ \frac{11\pi}{3}$.

а) Так как $BB_1 \perp (A_1B_1C_1)$, $B_1C_1 \perp A_1C_1$, то по теореме о трех перпендикулярах $BC_1 \perp A_1C_1$ как наклонная. Следовательно, $\triangle A_1C_1B$ — прямоугольный.

б) Заметим, что $BC \perp AC$ и $BC \perp CC_1$, следовательно, по признаку $BC \perp (AA_1C_1)$. Тогда $BC$ — высота пирамиды $BAA_1C_1$ с основанием $AA_1C_1$.

Так как $\triangle AA_1C_1$ прямоугольный, то

$$V_{BAA_1C_1}=\frac{\frac12\cdot AA_1\cdot A_1C_1\cdot BC}{3}$$

По теореме Пифагора имеем:

$$A_1C_1=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{16\cdot 36}=24$$

$$AA_1=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{1\cdot 51}=\sqrt{51}$$

$$BC=\sqrt{10^2-51}=\sqrt{49}=7$$

Тогда искомый объем пирамиды равен

$$V_{BAA_1C_1}=\frac{\frac12\cdot 24\cdot \sqrt{51}\cdot 7}{3}=28\sqrt{51}$$

Ответ:

б) $28\sqrt{51}$