Финансовая математика

Пусть $S$ – сумма, которую изначально взяли в кредит, $x$ – сумма ежегодной выплаты, $(1+0,25) = 1,25$ – коэффициент ежегодного увеличения долга. Составим таблицу движения денежных средств:

По условию кредит планируется выплатить за 3 года, значит:

$$((S\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x)\cdot 1,25-x=0$$

Общая сумма выплат составит $3\cdot x$, что по условию на $65 500$ рублей больше суммы, взятой в кредит ($S$), то есть:

$$3x-S=65500$$

Для нахождения суммы кредита $S$ решим систему уравнений: $$\left\{ \begin{array}{l} ((S\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x)\cdot 1{,}25-x=0\\[1.2em] 3x=S+65500 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(\left(S\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{5}{4}x-x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left(S\cdot\dfrac{25}{16}-\dfrac{9}{4}x\right)\cdot\dfrac{5}{4}-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{45}{16}x-x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x=0\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S\cdot\dfrac{125}{64}-\dfrac{61}{16}x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244x\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 125S=244\cdot\dfrac{S+65500}{3}\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 375S-244S=244\cdot 65500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 131S=244\cdot 131\cdot 500\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S=122000\\[1.2em] x=\dfrac{S+65500}{3} \end{array} \right.$$

Таким образом, сумма планируемого кредита $S$ составит 122 000 рублей.

Ответ: 122000.

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. r=20%, значит $k = 1+0.2=\frac{6}{5}$

Последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью, тогда: $$(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x = 0.$$ $$1{,}44S - 1{,}2x - x = 0,$$ $$1{,}44S - 2{,}2x = 0,$$ $$2{,}2x = 1{,}44S,$$ $$x = \frac{1{,}44S}{2{,}2} = \frac{36S}{55}.$$ Общая сумма выплат: $$3 \cdot \frac{S}{5} + 2 \cdot \frac{36S}{55}= \frac{3S}{5} + \frac{72S}{55}= \frac{105S}{55} = \frac{21S}{11}.$$ По условию общая сумма выплат по кредиту не превышает $10$ млн рублей, составим неравенство: $$\frac{21S}{11} \leq 10,$$ $$21S \leq 110,$$ $$S \leq \frac{110}{21}$$ $$S \leq 5\frac{5}{21}\ \text{млн руб.}$$ Так как $S$ — целое число миллионов, максимальное $S = 5$.

Ответ: $5$

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. $r=20\%$, значит $k = 1+0.2=\frac{6}{5}$

Последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью, тогда: $$(1{,}2S - x) \cdot 1{,}2 - x = 0.$$ $$1{,}44S - 1{,}2x - x = 0,$$ $$1{,}44S - 2{,}2x = 0,$$ $$2{,}2x = 1{,}44S,$$ $$x = \frac{1{,}44S}{2{,}2} = \frac{36S}{55}.$$ Общая сумма выплат: $$4 \cdot \frac{S}{5} + 2 \cdot \frac{36S}{55}= \frac{4S}{5} + \frac{72S}{55}= \frac{44S}{55} + \frac{72S}{55}= \frac{116S}{55}.$$ По условию общая сумма выплат по кредиту должна превышать $12$ млн рублей, составим неравенство: $$\frac{116S}{55} > 12,$$ $$S > \frac{660}{116}$$ $$S > \frac{165}{29}$$ $$S > 5\frac{20}{29}\ \text{млн руб.}$$ Так как $S$ — целое число миллионов, наименьшее $S = 6$.

Ответ: 6

Пусть $S$ — первоначальный взнос в млн. руб.

Вариант 1: ставки 10%, 15%, 20%

Итоговая сумма в конце 2030 года: $$A_1 = \Bigl((1.1S + 1)\cdot 1.15 + 1\Bigr)\cdot 1.2.= \bigl(1.265S + 1.15 + 1\bigr) \cdot 1.2 = (1.265S + 2.15) \cdot 1.2 = 1.518S + 2.58.$$

Вариант 2: ставки 20%, 15%, 10%

Итоговая сумма в конце 2030 года: $$A_2 = \Bigl((1.2S + 1)\cdot 1.15 + 1\Bigr)\cdot 1.1.= \bigl(1.38S + 1.15 + 1\bigr) \cdot 1.1 = (1.38S + 2.15) \cdot 1.1 = 1.518S + 2.365.$$

Сравним итоговые суммы

$$A_1 = 1.518S + 2.58,\quad A_2 = 1.518S + 2.365.$$ Так как $2.58 > 2.365$, то $A_1 > A_2$ при любом $S$. Следовательно, Михаил выберет первый вариант

По условию итоговая сумма должна быть не менее $11.5$ млн рублей: $$1.518S + 2.58 \geq 11.5.$$ $$1.518S \geq 8.92.$$ $$S \geq \frac{8920}{1518}$$ $$S \geq 5\frac{1330}{1518}$$ Так как $S$ — целое число миллионов рублей, наименьшее возможное $S = 6$.

Ответ: 6

Пусть $S$ — первоначальный взнос в млн. руб.

Вариант 1: ставки 10%, 10%, 20%, 20%

Итоговая сумма в конце 2031 года: $$A_1 = (1.452S + 3.52) \cdot 1.2 = 1.7424S + 4.224.$$

Вариант 2: ставки 20%, 20%, 10%, 10%

Итоговая сумма в конце 2031 года: $$A_2 = (1.584S + 3.42) \cdot 1.1 = 1.7424S + 3.762.$$

Сравним итоговые суммы

$$A_1 = 1.7424S + 4.224,\quad A_2 = 1.7424S + 3.762.$$ Так как $4.224 > 3.762$, то $A_1 > A_2$ при любом $S$. Следовательно, Елена выберет первый вариант.

По условию итоговая сумма должна быть не менее $11$ млн рублей: $$1.7424S + 4.224 \geq 11.$$ $$1.7424S \geq 6.776.$$ $$S \geq \frac{67760}{17424}$$ $$S \geq 3\frac{15488}{17424}$$ Так как $S$ — целое число миллионов рублей, наименьшее возможное $S = 4$.

Ответ: 4