Финансовая математика

Пусть первоначальная сумма вклада (в январе 2028 года) равна $S$ сотен тысяч рублей.

Процентная ставка составляет $10\%$, то есть коэффициент увеличения $k = 1.1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года (после последнего начисления процентов):

k(k(k(kS + 4) + 4) + 4). $$k(k(k^2 S + k\cdot 4 + 4) + 4) = k(k(k^2 S + 4(k + 1)) + 4) =$$ $$= k(k^3 S + 4\cdot k(k + 1) + 4) = k^4 S + 4\cdot k^2(k + 1) + 4\cdot k.$$ $$1.1^4 S + 4(1.1^2(1.1 + 1) + 1.1).$$

Вычисляем: $$k^2 = 1.1^2 = 1.21,\quad k+1=2.1,\quad k^4 = 1.1^4 = 1.4641.$$ $$k^2(k+1) = 1.21 \cdot 2.1 = 2.541.$$ $$4(k^2(k+1) + k) = 4(2.541 + 1.1) = 4 \cdot 3.641 = 14.564.$$

Таким образом, итоговая сумма равна: $$1.4641\,S + 14.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Первоначальный взнос $S$ и три взноса по $4$ сотни тысяч рублей: $$S + 3 \cdot 4 = S + 12 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Проценты равны итоговая сумма минус все внесённые деньги: $$(1.4641\,S + 14.564) - (S + 12) = 0.4641\,S + 2.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

По условию проценты должны быть более 800 000 руб, то есть более $8$ сотен тысяч рублей: $$0.4641\,S + 2.564 > 8.$$ $$0.4641\,S > 8 - 2.564$$ $$S> \frac{1359}{250}\cdot \frac{10000}{4641}$$ $$S>11\frac{1103}{1547}$$

$S$ должно быть целым числом сотен тысяч рублей, поэтому наименьшее возможное значение: $$S_{\min} = 12.$$ $12 \cdot 100\,000 = 1\,200\,000 \text{ рублей}.$

Ответ: 1,200,000

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 312\,500$ рублей.
$r=25\%$ значит $k=1.25$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0:

$$1.25^4S - (1.25^3 + 1.25^2 + 1.25 + 1)x = 0$$ $$1.25=\frac{5}{4}$$ $$S = \frac{\frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1}{\frac{625}{256}} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрческую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = \frac{5}{4}$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + \frac{5}{4} + \frac{25}{16} + \frac{125}{64} = \frac{\frac{625}{256} - 1}{\frac{5}{4} - 1} = \frac{ - 1}{\frac{1}{4}} = 4( \frac{625}{256}- 1)$$ $$S = \frac{4(\frac{625}{256} - 1)}{\frac{625}{256}} \cdot x = 4\left(1 - \frac{1}{\frac{625}{256}}\right) \cdot x$$

Подставим $x = 312\,500$: $$S = 4\left(1 - \frac{256}{625}\right) \cdot 312\,500 = 4 \cdot \frac{369}{625} \cdot 3\,125$$ $$S = 4 \cdot 369\cdot 5 = 738\,000$$

Ответ: 738,000

Пусть $S$ — сумма кредита. Ежегодный платёж $x = 324\,000$ рублей.
$r=20\%$ значит $k=1.2$ Составим таблицу изменения долга по годам.

Условие полного погашения кредита через 4 года означает, что долг после выплаты в 2030 году равен 0: $$1.2^4S - (1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1)x = 0$$ $$S = \frac{1.2^3 + 1.2^2 + 1.2 + 1}{1.2^4} \cdot x$$

Здесь числитель представляет собой геометрическую прогрессию, где $a_1 = 1$, $q = 1.2$, $n = 4$. Тогда её сумма будет равна: $$1 + 1.2 + 1.2^2 + 1.2^3 = \frac{1.2^4 - 1}{1.2 - 1} = \frac{1.2^4 - 1}{0.2} = 5(1.2^4 - 1)$$ $$1.2^4 = \left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{1296}{625}$$ $$S = 5\left(1 - \frac{625}{1296}\right) \cdot x = 5 \cdot \frac{1296 - 625}{1296} \cdot x = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot x$$ Подставим $x = 324\,000$: $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000 = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot 324\,000$$ $$S = 5 \cdot \frac{671}{1296} \cdot \frac{1296}{4} \cdot 1000 = 5 \cdot 671 \cdot 250= 838\,750$$

Ответ: 838,750

Пусть сумма кредита: $S = 1400$ тыс. руб.

Ежегодное уменьшение долга в мае: $x$ тыс. руб.

$$S - 8x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1400}{8} = 175.$$

Найдём, насколько выплата в $2030$ году больше выплаты в $2035$ году:

$$\begin{aligned} &\text{Выплата 2030}: \quad \frac{(1400 - 2\cdot 175) \cdot 17}{100} + 175 = \frac{1050 \cdot 17}{100} + 175 = 178{,}5 + 175 = 353{,}5 \text{ тыс. руб.},\\ &\text{Выплата 2035}: \quad \frac{(1400 - 7\cdot 175) \cdot 14}{100} + 175 = \frac{175 \cdot 14}{100} + 175 = 24{,}5 + 175 = 199{,}5 \text{ тыс. руб.}. \end{aligned}$$

Разность:

$$353{,}5 - 199{,}5 = 154 \text{ тыс. руб.} = 154000 \text{ руб.}.$$

Ответ: 154000

Сумма кредита: $S = 8400$ тыс. руб.

Вариант 1. Пусть $x$ - платёж, тогда:

$$(1.1S - x) \cdot 1.1 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4840$$ Общая выплата: $2x = 9680$ тыс. руб.
Вариант 2. Пусть $x$ - уменьшение долга, тогда:

$$x = \frac{S}{8} = 1050$$

Сумма выплат= $8x+0.03\cdot((S+(S-x)+\dots+(S-7x))$ Скобка образует арифметическую прогрессию, где $a_1=S;\, d=-x;\,n=8$, тогда её сумма будет равна: $$S_n=\frac{S+S-7x}{2}\cdot8=(2S-7x)\cdot4$$ Т.е. сумма выплат= $8x+0.03\cdot(2S-7x)\cdot4=8400+0.12\cdot9450=9534$ тыс. руб

Сравнение.
Вариант 1: 9680 тыс. руб.
Вариант 2: 9534 тыс. руб.
Разница: $9680 - 9534 = 146$ тыс. руб. = $\mathbf{146000}$ рублей.
Ответ: 146000