Финансовая математика

Пусть $S$ — сумма кредита. Так как по условию долг уменьшается на одну и ту же сумму, то она равна $\frac{S}{12}=\frac{2400000}{12}=200$ тыс.

Сумма выплат равна: $$200\cdot12+\frac{2}{100}(S+(S-200)+...+(S-1000))+\frac{r}{100}((S-1200)+...+(S-2000)+(S-2200))$$ Обе скобки предсставляют из себя арифметические прогрессии, где:

$n=6; \quad a_1=S; \quad a_n=S-1000; \quad a_1=S-1200; \quad a_n=S-2200$.

По формуле суммы арифметической прогрессии посчитаем общую сумму выплат и приравняем к $2691$ по условию: $$2400+\frac{2}{100}\cdot\frac{2400+1400}{2}\cdot6+\frac{r}{100}\cdot\frac{1200+200}{2}\cdot6=2691$$ $$2400+38\cdot6+r\cdot14\cdot3=2691$$ $$42r=63$$ $$r=1.5$$

Ответ: 1.5

Пусть $S$ — сумма кредита. Так как по условию долг уменьшается на одну и ту же сумму, то она равна $\frac{S}{12}=\frac{3600000}{12}=300$ тыс.

Сумма выплат равна: $$300\cdot12+\frac{r}{100}(S+(S-300)+...+(S-1500))+\frac{2}{100}((S-1800)+...+(S-3000)+(S-3300))$$ Обе скобки представляют из себя арифметические прогрессии, где:

$n=6; \quad a_1=S; \quad a_n=S-1500; \quad a_1=S-1800; \quad a_n=S-3300$.

По формуле суммы арифметической прогрессии посчитаем общую сумму выплат и приравняем к $4153.5$ по условию: $$3600+\frac{r}{100}\cdot\frac{3600+2100}{2}\cdot6+\frac{2}{100}\cdot\frac{1800+300}{2}\cdot6=4153.5$$ $$3600+\frac{r}{100}\cdot\frac{5700}{2}\cdot6+0.02\cdot\frac{2100}{2}\cdot6=4153.5$$ $$3600+r\cdot57\cdot3+21\cdot6=4153.5$$ $$171r=427.5$$ $$r=2.5$$

Ответ: 2.5

Пусть $S$ — сумма кредита в млн. руб. $x$- ежегодное уменьшение долга

Из условия для 2035 года: $$1.1(S - 5x) = 484$$ $$S - 5x = 440$$ $$S=440+5x$$ Сумма всех выплат из таблицы: $$(0.2S + x) + (0.2S + 0.8x) + (0.2S + 0.6x) + (0.1S + 0.7x) + (0.1S + 0.6x) + 1.1(S - 5x) = 2376$$ $$1.9S-1.8x=2376$$ Подставим значение $S=440+5x$: $$1.9(440 + 5x) - 1.8x = 2376$$ $$836 + 9.5x - 1.8x = 2376$$ $$7.7x = 1540$$ $$x = \frac{15400}{77} = 200$$ Находим $S$: $$S = 440 + 5 \cdot 200 = 440 + 1000 = 1440$$

Ответ: 1440 \ тыс. руб.

Пусть $S$ — сумма кредита в тыс. руб., $x$ — ежегодное уменьшение долга в тыс. руб.

Из условия для 2035 года: $$1.2(S - 5x) = 480$$ $$S - 5x = 400$$ $$S = 400 + 5x$$

Сумма всех выплат: $$(0.1S + x) + (0.1S + 0.9x) + (0.1S + 0.8x) + (0.2S + 0.4x) + (0.2S + 0.2x) + 1.2(S - 5x) = 2800$$ $$1.9S - 2.7x = 2800$$

Подставляем $S = 400 + 5x$: $$1.9(400 + 5x) - 2.7x = 2800$$ $$760 + 9.5x - 2.7x = 2800$$ $$6.8x = 2040$$ $$x = 300$$ Находим $S$: $$S = 400 + 5 \cdot 300 = 400 + 1500 = 1900$$

Ответ: 1900 \ тыс. руб.

Пусть первоначальная сумма вклада (в январе 2028 года) равна S сотен тысяч рублей.

Процентная ставка составляет $10\%$, то есть коэффициент увеличения $k = 1.1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года (после последнего начисления процентов): $$k(k(k(kS + 5) + 5) + 5).$$ $$k(k(k^2 S + k\cdot 5 + 5) + 5) = k(k(k^2 S + 5(k + 1)) + 5) =$$ $$= k(k^3 S + 5\cdot k(k + 1) + 5) = k^4 S + 5\cdot k^2(k + 1) + 5\cdot k.$$ $$1.1^4 S + 5(1.1^2(1.1 + 1) + 1.1).$$

Таким образом, $$1.4641\,S + 5 \cdot 3.641 = 1.4641\,S + 18.205.$$

Первоначальный взнос $S$ и три взноса по $5$ сотен тысяч рублей: $$S + 15.$$

$$(1.4641\,S + 18.205) - (S + 15) = 0.4641\,S + 3.205.$$

По условию проценты $> 10$ сотен тысяч рублей: $$0.4641\,S + 3.205 > 10,$$ $$0.4641\,S > 6.795,$$ $$S > \frac{679\,50}{4641}$$ $$S>14 \frac{2976}{4641}$$

$S$ должно быть целым числом сотен тысяч, т.е. $$S>14 \frac{2976}{4641}$$ $$S_{\min} = 15.$$ $S\cdot 100\,000 = 1\,500\,000 \text{ рублей}$

Ответ: 1,500,000