Финансовая математика

Пусть $x$ товаров произвели на первом заводе, тогда во втором заводе будет $70-x$.

На первом заводе будет $x^2$ часов, а втором заводе $(70-x)^2$ часов.

В соответствии с затраченным временем, на первом заводе Борис потратит:

$$500 x^2,$$

на втором заводе:

$$200(70-x)^2$$

Необходимо произвести как можно больше товаров.

Значит Борис потратит на оплату труда рабочих:

$$y=500x^2+200(70-x)^2\\ y=500x^2+200(4900-140x+x^2)\\ y=500x^2+200x^2+980000-28000x\\ y=700x^2-28000x+980000$$

Так как необходимо, чтобы Борис потратил как можно меньше, а функция является квадратичной, график которой парабола с ветвями вверх, значит наименьшее значение в вершине:

$$x=\frac{28000}{2\cdot 700}=20$$

Значит, наименьшей суммой, которую Борис будет тратить на оплату труда:

$$y(20)=500\cdot 400+200\cdot 2500=200000+500000=700000~руб$$

Ответ: 700000

Функция прибыли:

$$px-(0,5x^2+2x+6)\\ px-(0,5x^2+2x+6)=-0,5x^2+px-6-2x=-0,5x^2-x(2-p)-6$$

Функция является квадратичной, графиком является парабола с ветвями вниз, наибольшее значение принимает в вершине

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{2-p}{-1}=p-2\\ f(x)=-0,5(p-2)^2-(p-2)(2-р)-6=-0,5(p-2)^2+(p-2)^2-6=0,5(p-2)^2-6$$

Значит, в точке $0,5(p-2)^2-6$ функция принимает наибольшее значение.

$1$ год: $p=10$

$$f(10)=0,5(10-2)^2-6=26~млн$$

Значит, прибыль в $1$ год составит $26$ млн. руб.

Каждый год цена возрастает на $1$.

$2$ год: $p=11$

$$f(11)=0,5(11-2)^2-6=34,5~млн$$

Значит, прибыль во $2$ год составит $34,5$ млн. руб.

$3$ год: $p=12$

$$f(12)=0,5(12-2)^2-6=44~млн$$

Значит, прибыль в $3$ год составит $44$ млн. руб.

$4$ год: $p=13$

$$f(13)=0,5(13-2)^2-6=54,5~млн$$

Значит, прибыль в $4$ год составит $54,5$ млн. руб.

Посчитаем прибыль за эти $4$ года:

$$34,5~млн. руб.+44~млн. руб.+54,5~млн.руб.=159~млн. руб.$$

Значит, за $4$ года окупится строительство.

Ответ: 4

Пусть:

$x$ - количество единиц товара, произведенное на заводе в первом городе;

$(580-x)$ - количество единиц товара, произведенное на заводе во втором городе.

Время, необходимое для производства $x$ единиц товара на заводе, расположенном в первом городе, составит:

$$x=2t\Rightarrow t=\frac{x}{2}\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2$$

Время, необходимое для производства $(580-x)$ единиц товара на заводе, расположенном во втором городе, составит:

$$(580-x)=5t\Rightarrow t=\frac{580-x}{5}\Rightarrow t^2=\left(\frac{580-x}{5}\right)^2$$

Тогда:

Суммарные затраты по двум заводам составят:

$$500\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2+500\cdot \left(\frac{580-x}{5}\right)^2=f(x)$$

Преобразуем полученную функцию:

$$f(x)=500\cdot\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{x^2}{4}+\frac{580^2-1160x+x^2}{25}\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{25x^2+4\cdot 580^2-4640x+4x^2}{100}\right)\\ f(x)=5\cdot (29x^2-4640x+4\cdot 580^2)\\ f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$$

Графиком зависимости затрат от количества продукции $f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ее наименьшее значение будет в вершине $x_B=\frac{-b}{2a}=\frac{23200}{2\cdot 145}=\frac{23200}{290}=80$. Этому соответствуют затраты на еженедельную оплату труда рабочих

$$f(80)=145\cdot (80)^2-23200\cdot 80+20\cdot 580^2=928000-1856000+6728000=5800000$$

Ответ: 5800000

Если долг возрастает на $3\%$, то он увеличивается в $1,03$ раз. Пусть в долг взяли $A$ млн рублей. Составим таблицу, в которой рассмотрим долг на конец каждого месяца:

За время погашения долга мы выплатим сам долг и все начисленные проценты, учтём, что проценты начисляются на остатки долга, составим модель. Вычисления будем вести в тысячах. $$S+0,03S+0,03(S-30)+0,03(S-2\cdot 30)+0,03(S-3\cdot 30)+…+0,03(S-20\cdot 30)=1604\\ S+0,03(S+(S-30)+(S-2\cdot 30)+(S-3\cdot 30)+…+(S-20\cdot 30))=1604$$ Заметим арифметическую прогрессию, воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии: $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$, процент начислялся на долг $21$ раз, значит, $n=21$. $$S+0,03\left(\frac{S+S-20\cdot 30}{2}\cdot 21\right)=1604\Rightarrow S+0,63(S-300)=1604\Rightarrow \\ 1,63S-189=1604\Rightarrow 1,63S=1793\Rightarrow S=1100$$ Значит, в кредит планировалось взять $1100$ тысяч рублей.

Ответ: 1100 тысяч рублей

Пусть:

$x$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2026$-го по $2030$-й год;

$y$ - сумма, на которую уменьшается долг с $2031$-го по $2035$-й год.

Все расчёты будем вести в тыс. рублей.

По условию за первые пять лет долг уменьшился с $800$ тыс. рубл. (июль $2025$) до $200$ тыс. рубл. (июль $2030$), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $x$. Тогда:

$$x=\frac{800-200}{5}=120~тыс.рубл.$$

За следующие пять лет долг уменьшился с $200$ тыс. рубл. (июль $2030$) до $0$ (июль $2035$), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму $y$. Тогда:

$$y=\frac{200}{5}=40~тыс.рубл.$$

Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из начальной суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Тогда сумма всех выплаченных процентов составит разницу между общей суммой выплат по кредиту и начальной суммой кредита:

$$Сумма~всех~\%=1480-800=680$$

Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учетом найденных значений $x$ и $y$:

Значит, сумма всех выплаченных процентов составит:

$$\begin{aligned} 800\cdot\frac{r}{100}+680\cdot\frac{r}{100}+560\cdot\frac{r}{100}+440\cdot\frac{r}{100}+320\cdot\frac{r}{100}+200\cdot\frac{r}{100}+160\cdot\frac{r}{100}+120\cdot\frac{r}{100}+80\cdot\frac{r}{100}+40\cdot\frac{r}{100}=680\\ \frac{r}{100}\cdot (800+680+560+440+320+200+160+120+80+40)=680\\ \frac{r}{100}\cdot 3400=680\\ 34r=680\\ r=20 \end{aligned}$$

Ответ: 20