Финансовая математика

Если $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца, то значит, что мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга. Обозначим сумму долга за $S$. Тогда, чтобы каждый раз тело долга уменьшалось на одну и ту же сумму, выплаты на него должны быть равны $\frac{S}{9}$, где $9$ - срок на который берут кредит.

Рассмотрим на какие остатки будет начисляться процент:

1. В первый месяц:

$$S\cdot\frac{r}{100}$$ 2) Во второй месяц:

$$\frac{8S}{9}\cdot\frac{r}{100}$$ 3) В третий месяц:

$$\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}$$

$$…$$ 8) В восьмой месяц:

$$\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}$$ 9) В последний (девятый) месяц:

$$\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}$$

Вспомним, что мы сказали: “мы ежемесячно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга”, значит, за время погашения мы выплатим весь долг $S$ и проценты, которые начисляли, найдем сумму выплат: $$S+S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}$$

Из условия знаем, что сумма выплат была на $25\%$ больше суммы долга, тогда:

$$S+S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}=1,25S,$$

упростим:

$$S\cdot \frac{r}{100}+\frac{8S}{9}\cdot \frac{r}{100}+\frac{7S}{9}\cdot\frac{r}{100}+…+\frac{2S}{9}\cdot\frac{r}{100}+\frac{S}{9}\cdot\frac{r}{100}=0,25S$$

$$S\cdot\frac{r}{100}(1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}…+\frac{2}{9}+\frac{1}{9})=0,25S,$$

заметим, что в скобках арифметическая прогрессия из 9 членов, найдем её сумму:

$$1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}…+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1+\frac{1}{9}}{2}\cdot 9=5,$$

подставим:

$$S\cdot\frac{5r}{100}=0,25S\Rightarrow 5r=25\Rightarrow r=5$$

Ответ: 5

За время погашения кредита мы выплатим сумму, которую взяли в кредит, и проценты, в таком случае проценты должны составить более $1,4-1=0,4$ млн рублей. Проценты начисляются на остатки долга, которые записаны в таблице, найдём их: $p=\frac{r}{100}$

$p$ - нахождение процента, который банк начислит на остаток:

$$1\cdot p+0,8\cdot p+0,7\cdot p+0,5\cdot p+0,3\cdot p+0,1\cdot p>0,4\\ p(1+0,8+0,7+0,5+0,3+0,1)>0,4\\ p\cdot 3,4>0,4\\ p>\frac{4}{36}\Rightarrow \frac{r}{100}>\frac{2}{17}\Rightarrow r>\frac{200}{17}\Rightarrow r>11\frac{13}{17},$$

так как $r$ - целое и нам необходимо наименьшее возможное значение, то $r=12$.

Ответ: 12

Пусть $S$ - сумма долга. Так как в первые $3$ года заёмщик выплачивал только проценты, то сумма выплат составит:

$0,2S+0,2S+0,2S=0,6S$, умножение на $0,2$ - это поиск начисленного процента.

Так в $4$-ом и $5$-ом году были совершены $2$ равные выплаты, обозначим каждую за $x$.

Рассмотрим, как выглядит долг после начисления процента, $S+0,2S=1,2S$, значит, умножение на $1,2$ - начисление процента на остаток долга.

В начале $4$-го года: $1,2S$ В конце $4$-го года: $1,2S-x$ В начале $5$-го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2$ В конце $5$-го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2-x$, так как долг был погашен двумя платежами, значит, что остаток в конце $5$-го года равен $0$.

$$(1,2S-x)\cdot 1,2-x=0\Rightarrow 1,44S-1,2x-x=0\Rightarrow 1,44S=2,2x \Rightarrow x=\frac{1,44S}{2,2}$$

При этом необходимо, чтобы общая сумма выплат была меньше $7$ млн, всего выплатили $0,6S+2x<7$

Подставим $x$: $$0,6S+2\cdot\frac{1,44S}{2,2}<7\Rightarrow 0,6S+\frac{14,4S}{11}<7\Rightarrow 6,6S+14,4S<77\Rightarrow 21S<77\Rightarrow S<\frac{77}{21}\Rightarrow S<3\frac{14}{21}$$ Так как в условии сказано, что $S$ - целое количество млн, а так же требуют максимальное значение $S$, значит, $S=3$.

Ответ: 3

Составим математическую модель.

Пусть $S$ — сумма.

Под умножением на $1,1$ подразумеваем начисление процентов:

$$S\cdot (1+\frac{10}{100})=S+S\cdot\frac{10}{100}$$

Миша:

1год:

$$1,1S-5000$$ 2 год:

$$1,1\cdot (1,1S-5000)+5000$$ 3 год:

$$(1,1(1,1S-5000)+5000)\cdot 1,1$$

Раскроем скобки:

$$(S\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1=S\cdot 1,1^3-5000\cdot 1,1^2+5000\cdot 1,1~(1)$$

Маша: 1 год:

$$1,1S+5000$$ 2 год:

$$1,1\cdot (1,1S+5000)-5000$$ 3 год:

$$(1,1(1,1S+5000)-5000)\cdot 1,1$$

Раскроем скобки:

$$(S\cdot 1,1^2+5000\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1=S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1~(2)$$

Из второго выражения вычтем первое:

$$Маша-Миша=S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1-S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1=\\ =10000\cdot 1,21-10000\cdot 1,1=12100-11000=1100$$

Ответ: 1100 руб.

Так как у $2017$, $2018$ и $2019$ годов долг остается равным $6,6$ млн. руб, то получается, что три года платим только проценты:

$3$ раза платим по $6,6\cdot\dfrac{r}{100}$

Пусть $1 + \dfrac{r}{100} = k$

$X$ - выплата в $2020$ и $2021$

$$\displaystyle$$\begin{cases} \left( 6, ! 6k -X \right)k -X=0\ ( 1)\ 12, ! 6=X+X+3\cdot 6, ! 6\cdot \left( k - 1 \right) \ ( 2) \end{cases}$$\\ (2): 32, \! 4 = 2X + 19, \! 8k \\ X = 16, \! 2 - 9, \! 9k$$ Подставим (2) в (1) и получим: $$(6, \! 6k - 16, \! 2 + 9, \! 9k)k - 16, \! 2 + 9, \! 9k = 0 \\ 16, \! 5k^2 - 16, \! 2 k - 16, \! 2 + 9, \! 9k = 0 \\ 165k^2 - 63k - 162 = 0 \\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} k= 1, \! 2 \\ k=-0, \! 81 \end{array} \right. \Rightarrow k= 1, \! 2 \Rightarrow r = 120 - 100 = 20$$

Ответ: 20