Векторы

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (1 - (-4); 4 - 1) = (5; 3)$$ $$\vec b = (1 - 4; -2 - 5) = (-3; -7)$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec b = 5\cdot(-3) + 3\cdot(-7) = - 36$$

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (3 - (-4); 5 - 2) = (7; 3)$$ $$\vec b = (- 4 - (-2); 1 - (-2)) = (-2; 3)$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec b = 7\cdot(-2) + 3\cdot3 = - 5$$

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов: $$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b| }$$ Где $\alpha$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (1 - (-4); 4 - 1) = (5; 3)$$ $$\vec b = (7 - 4; 0 - 5) = (3; -5)$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec b = 5\cdot 3 + 3\cdot(-5) = 0$$

Так как скалярное произведение находится в числителе дроби и равно нулю, косинус угла между векторами будет равен нулю (знаменатель не равен 0, так как оба вектора ненулевые).

Тогда: $$\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \alpha = 90^\circ$$

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов: $$\vec a\cdot\vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b| }$$ Где $\alpha$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (-1 - (-4); 5 - 1) = (3; 4)$$ $$\vec b = (3 - (-3); 0) = (6; 0)$$

Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$ $$|\vec b| = \sqrt{6^2} = 6$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec b = 3\cdot 6 + 4\cdot0 = 18$$

Тогда: $$\cos \alpha = \frac{18}{5\cdot6} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0,6$$

Найдём координаты векторов: $$\vec a = (-6 - (-2); -4 - 5) = (-4; -9)$$ $$2\vec b = (2\cdot(1 - 6); 2\cdot(-2 -2)) = (-10; -8)$$

Найдём их скалярное произведение: $$\vec a \cdot \vec 2b = -4\cdot(-10) -9\cdot(-8) = 40 + 72 = 112$$