Векторы

Введём обозначение: $\vec d = \vec a + \vec b$. Найдём координаты $\vec d$: $$\vec d = (-1 + 4; 3 + 1) = (3; 4)$$ Скалярное произведение векторов представляет собой сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Тогда по условию: $$\vec d \cdot \vec c = 0 \Leftrightarrow 3\cdot2 + 4\cdot c_0 = 0 \Leftrightarrow c_0 = -\frac{6}{4} = -1,5$$

Выразим косинус угла между векторами через формулу скалярного произведения: $$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt5} = \frac{\vec a\cdot \vec b}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b + 0\cdot y_a}{|\vec a|\cdot |\vec b|} = \frac{4\cdot x_b}{|\vec a|\cdot |\vec b|}$$

Найдём длины векторов: $$|\vec a| = \sqrt{4^2 + y_a^2}$$ $$|\vec b| = \sqrt{x_b^2 + 0} = |x_b|$$

Подставим в формулу: $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot |x_b|}$$

Рассмотрим два случая раскрытия $|x_b|$: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x_b > 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} (1) \end{cases}\\ &\begin{cases} x_b \leq 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b}(2) \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Решим уравнение (1): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt5} = \frac{2}{\sqrt{4^2 + y_a^2}} \Leftrightarrow \sqrt{4^2 + y_a^2} = 2\sqrt5$$ $$16 + y_a^2 = 20 \Leftrightarrow y_a^2 = 4 \Leftrightarrow y_a = \pm 2$$

Решим уравнение (2): $$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4\cdot x_b}{-\sqrt{4^2 + y_a^2}\cdot x_b} \Leftrightarrow \sqrt{16 + y_a^2} = -2\sqrt5 \Rightarrow y_a \in \varnothing$$

В итоге получаем два значения $y_a = \pm 2$. Наибольшее из них: $y_a = 2$.

Пусть $\alpha$ – угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$.

Выразим косинус угла из формулы скалярного произведения: $$\cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$$

Найдём длины векторов и их скалярное произведение: $$|\vec a| = \sqrt{14^2 + (-2)^2} = \sqrt{200}$$ $$|\vec b| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{50}$$ $$\vec a \cdot \vec b = 14\cdot(-7) + (-2)\cdot(-1) = -96$$ Подставим в формулу: $$\cos \alpha = \frac{-96}{\sqrt{200\cdot50}} = \frac{-96}{100} = -0,96$$

Введём обозначение: $\vec u = 3\vec a$, $\vec v = 4\vec b$. Найдём координаты $\vec u$ и $\vec v$: $$\vec u = (3 \cdot 2,2; 3 \cdot (-4)) = (6,6; -12)$$ $$\vec v = (4 \cdot (-1,25); 4 \cdot (-1)) = (-5; -4)$$ Найдём скалярное произведение через координаты векторов: $$\vec u \cdot \vec v = 6,6 \cdot (-5) + (-12) \cdot (-4) = -33 + 48 = 15$$

Введём обозначение: $\vec d = \vec b + \vec c$. Найдём координаты $\vec d$: $$\vec d = (2 + c_0; -1 + 3) = (c_0 + 2; 2)$$ Найдём скалярное произведение векторов через их координаты. Тогда по условию: $$\vec a \cdot \vec d = 0 \Leftrightarrow 2\cdot(c_0 + 2) + (-3)\cdot2 = 0 \Leftrightarrow 2c_0 + 4 - 6 = 0 \Leftrightarrow 2c_0 = 2 \Leftrightarrow c_0 = 1$$