Векторы

Формула скалярного произведения через длины векторов и угол между ними: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$

Подставляем известные значения: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 150^\circ$$

Вычисляем: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -15$$

Формула для косинуса угла между векторами: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Вычисляем скалярное произведение: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-4) + 4 \cdot (-3) = -12 - 12 = -24$$

Находим длины векторов: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

Подставляем в формулу: $$\cos \alpha = \frac{-24}{5 \cdot 5} = -\frac{24}{25} = -0,96$$

Найдём координаты векторов по картинке:

$$\vec a = (4 - 1, 4 - 8) = (3, -4)$$

$$\vec b = (6 - 2, 1 - 4) = (4, -3)$$

Формула для вычисления косинуса угла между векторами: $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

1. Вычислим скалярное произведение векторов: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-3) = 12 + 12 = 24$$

2. Найдём длины векторов: $$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$

3. Подставим полученные значения в формулу: $$\cos \alpha = \frac{24}{5 \cdot 5} = \frac{24}{25} = 0,96$$

Формула скалярного произведения через длины векторов и угол между ними: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha$$

Подставляем известные значения:

$$12 = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Упрощаем выражение: $$12 = \cancel{2}\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot |\vec{b}| = 2|\vec{b}|$$

Находим длину вектора $\vec{b}$: $$|\vec{b}| = \frac{12}{2} = 6$$

Пусть точка $A$ начало координат.

Найдём координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB} = (4 - 0, 3 - 0) = (4, 3)$$ $$\overrightarrow{AC} = (2 - 0, -1 - 0) = (2, -1)$$

Найдём скалярное произведение $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$:

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} = 4\cdot 2 + 3\cdot(-1) = 8 - 3 = 5$$