Задачи с прикладным содержанием

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 20^\circ \text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды $m = 0{,}3 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_b = 60^\circ \text{C}$ до температуры $T$, причем $$x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_b - T_n}{T - T_n},$$ где $c = 4200 \, \text{Дж/(кг\(\cdot\)°C)}$ — теплоемкость воды, $\gamma = 21 \, \text{Вт/(м\(\cdot\)°C)}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 0{,}7$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

Источник: БАНК ФИПИ

Груз массой 0,38 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T}$, где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 8 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 7 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Источник: БАНК ФИПИ

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t = \frac{2U_0 \sin \alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 2,1 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $U_0 = 21 \, \text{м/с}$? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ

Два тела, массой $m = 6 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 9 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.

Два тела, массой $m = 9 \, \text{кг}$ каждое, движутся с одинаковой скоростью $v = 6 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса (в кг), $v$ — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом $2\alpha$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

Источник: ЕГЭ по математике 2020. Досрочная волна.