Описанные окружности

Сумма углов правильного $n-$угольника вычисляется по формуле:

$$180^\circ(n - 2)$$

где $n$ – количество сторон многоугольника.

По условию задачи углы многоугольника равны $108^\circ$. Составим уравнение:

$$180^\circ(n - 2) = n\cdot108^\circ \Leftrightarrow 180^\circ n -108^\circ n = 360^\circ \Leftrightarrow n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$$

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$, где угол $ABC$ — искомый, а отрезок $AC$ — хорда, на которую он опирается:

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R \Rightarrow \sin \angle ABC=\frac{AC}{2R}$$

$$\Rightarrow \sin \angle ABC=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ откуда искомый угол равен $60^\circ$.

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD$. Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD$.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD$. Поэтому

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=\angle ABD+\angle CAD=61^\circ+37^\circ=98^\circ.$$

Решение:

а)

Пусть $O$ — центр большей окружности, а $Q$ — центр меньшей.
Поскольку окружности касаются внутренним образом в точке $K$, точки $O$, $Q$ и $K$ лежат на одной прямой (линии центров).
Меньшая окружность проходит через центр большей, значит, $OK$ является её диаметром. Следовательно, радиус меньшей окружности равен $\frac{OK}{2}$.

Рассмотрим точку $A$ — пересечение хорды $KM$ с меньшей окружностью.
Так как $A$ лежит на окружности с диаметром $OK$, угол $\angle OAK = 90^\circ$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр).
Значит, $OA \perp KM$. Но $OA$ — радиус большей окружности, а перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Следовательно, $A$ — середина отрезка $KM$.

Аналогично, рассматривая точку $B$ на хорде $KN$, получаем, что $B$ — середина $KN$ ($\angle OBK = 90^\circ$, значит $OB \perp KN$, и $B$ — середина).

Таким образом, в треугольнике $KMN$ отрезок $AB$ соединяет середины двух сторон, значит, $AB$ — средняя линия. Следовательно, $$AB \parallel MN.$$

Теперь используем параллельность $AB \parallel MN$. Рассмотрим две секущие $KC$ и $KL$, пересекающие параллельные прямые $AB$ и $MN$. По теореме о пропорциональных отрезках: $$\frac{CN}{LB} = \frac{CK}{LK} = \frac{CM}{AL}.$$ Отсюда, переставляя пропорцию, получаем: $$\frac{CN}{CM} = \frac{LB}{LA}.$$ Что и требовалось доказать.

б)

Радиус меньшей окружности равен $\sqrt{17}$, значит $$QK = \sqrt{17}.$$ Так как меньшая окружность проходит через центр большей, то $OK = 2\sqrt{17}$ — это радиус большей окружности.
Следовательно, расстояние между центрами: $$OQ = OK - QK = 2\sqrt{17} - \sqrt{17} = \sqrt{17}.$$

Из пункта а) известно, что $$\frac{CN}{CM} = \frac{LB}{LA} = \frac{3}{7}.$$ Введём переменную $t > 0$ такую, что $$CN = 3t, \quad CM = 7t.$$ Тогда вся хорда $$MN = CN + CM = 10t.$$

Опустим перпендикуляр $OH$ из центра большей окружности на хорду $MN$.
Так как $OH \perp MN$, точка $H$ — середина хорды (свойство радиуса, перпендикулярного хорде). Значит, $$MH = HN = \frac{MN}{2} = 5t.$$ Тогда $$CH = HN - CN = 5t - 3t = 2t.$$

В прямоугольном треугольнике $OHM$: $$OM = 2\sqrt{17}, \quad MH = 5t,$$ по теореме Пифагора: $$OH^2 = OM^2 - MH^2 = (2\sqrt{17})^2 - (5t)^2 = 68 - 25t^2. \tag{1}$$

Теперь рассмотрим меньшую окружность. Так как $MN$ касается её в точке $C$, радиус $QC$ перпендикулярен $MN$.
Прямая $OH$ также перпендикулярна $MN$, значит $$QC \parallel OH.$$

Проведём через точку $O$ прямую, параллельную $QC$ (и $OH$), и опустим перпендикуляр $OF$ на $QC$. Тогда $OF$ — расстояние между параллельными прямыми $QC$ и $OH$. Это расстояние равно расстоянию между точками $C$ и $H$ на прямой $MN$, то есть $$OF = CH = 2t.$$

Кроме того, $CF = OH$ (так как $OH$ и $CF$ — перпендикуляры между параллельными прямыми, они равны).
Поэтому $$QF = |QC - CF| = |QC - OH| = \left|\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right|.$$ (Здесь $\sqrt{17}$ — радиус меньшей окружности, а $\sqrt{68 - 25t^2}$ — длина $OH$ из (1).)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OQF$. В нём: $$OQ = \sqrt{17}, \quad OF = 2t, \quad QF = \left|\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right|.$$ По теореме Пифагора: $$OQ^2 = OF^2 + QF^2.$$ Подставляем: $$17 = (2t)^2 + \left(\sqrt{17} - \sqrt{68 - 25t^2}\right)^2. \tag{2}$$

Раскроем скобки и упростим уравнение.
Пусть $u = \sqrt{68 - 25t^2}$. Тогда (2) примет вид: $$17 = 4t^2 + 17 - 2\sqrt{17}\,u + u^2.$$ Но $u^2 = 68 - 25t^2$, поэтому: $$17 = 4t^2 + 17 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2} + 68 - 25t^2.$$ Сокращаем $17$ и приводим подобные: $$0 = 4t^2 - 25t^2 + 68 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2}$$ $$0 = -21t^2 + 68 - 2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2}.$$ Отсюда: $$2\sqrt{17}\sqrt{68 - 25t^2} = 68 - 21t^2. \tag{3}$$

Возведём обе части (3) в квадрат: $$4 \cdot 17 \cdot (68 - 25t^2) = (68 - 21t^2)^2.$$ $$68 \cdot (68 - 25t^2) = (68 - 21t^2)^2.$$ Раскроем: $$68^2 - 68\cdot 25t^2 = 68^2 - 2\cdot 68\cdot 21t^2 + (21t^2)^2.$$ Сокращаем $68^2$: $$-68\cdot 25t^2 = -2\cdot 68\cdot 21t^2 + 441t^4.$$ Переносим всё в одну сторону: $$0 = -2\cdot 68\cdot 21t^2 + 68\cdot 25t^2 + 441t^4.$$ Вычислим коэффициенты: $$-2\cdot 68\cdot 21 + 68\cdot 25 = 68(-42 + 25) = 68\cdot (-17) = -1156.$$ Значит: $$0 = -1156 t^2 + 441 t^4.$$ Вынесем $t^2$: $$t^2(441t^2 - 1156) = 0.$$ Так как $t > 0$, то $$441t^2 = 1156 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = \frac{1156}{441} = \left(\frac{34}{21}\right)^2.$$ Следовательно, $$t = \frac{34}{21}.$$

Наконец, длина хорды: $$MN = 10t = 10 \cdot \frac{34}{21} = \frac{340}{21}.$$

$$\boxed{MN = \frac{340}{21}}.$$

Решение: а)

Пусть $O_1$ -- центр малой окружности, а $O$ -- центр большей окружности. Точка $A$ лежит на прямой $OO_1$. Поэтому $OA$ -- диаметр малой окружности. Рассмотрим треугольник $AOK$. Он вписан в малую окружность, причём угол $K$ -- прямой, так как опирается на диаметр $OA$, откуда следует, что $OK \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $OBA$. Он равнобедренный, так как $OB = OA$ как радиусы большей окружности. Значит, $OK$ -- высота, медиана и биссектриса этого треугольника, откуда $BK = AK$.

Аналогичным образом получаем $AM = MC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нём отрезок $KM$ -- средняя линяя, так как соединяет середины сторон треугольника, откуда следует, что $KM \parallel BC$, что и требовалось доказать.

б)

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду $BC$. Тогда $BH = HC$.

Из прямоугольного треугольника $OBH$ по теореме Пифагора: $$OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{34^2 - 16^2} = \sqrt{1156 - 256} = \sqrt{900} = 30.$$

Так как $O_1P$ — радиус, проведённый к точке касания, то $O_1P \perp BC$, откуда $OH \parallel O_1P$. Опустим перпендикуляр $O_1T$ на $OH$.

Радиус меньшей окружности равен половине радиуса большей, так как меньшая проходит через центр большей: $$O_1P = \frac{OA}{2} = \frac{34}{2} = 17.$$ Расстояние между центрами: $$OO_1 = OA - O_1A = 34 - 17 = 17.$$

Найдём отрезок $OT$: $$OT = OH - TH = OH - O_1P = 30 - 17 = 13.$$

Из прямоугольного треугольника $OO_1T$: $$TO_1^2 = OO_1^2 - OT^2 = 17^2 - 13^2 = 289 - 169 = 120.$$ Так как $PH = TO_1$, то $PH^2 = 120$.

Из прямоугольного треугольника $OPH$: $$OP^2 = OH^2 + HP^2 = 30^2 + 120 = 900 + 120 = 1020.$$

В треугольнике $AOP$ угол $APO$ — прямой, так как $OA$ — диаметр меньшей окружности, а точка $P$ лежит на меньшей окружности. Следовательно, $$PA = \sqrt{OA^2 - OP^2} = \sqrt{34^2 - 1020} = \sqrt{1156 - 1020} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}.$$

Так как $L$ лежит на $KM \parallel BC$, а $M$ — середина $AC$, то $LM$ — средняя линия треугольника $APC$. Значит, $$AL = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{34} = \sqrt{34}.$$

$$\boxed{AL = \sqrt{34}}$$

Ответ: a) $KM \parallel BC$; б) $\sqrt{34}$