Описанные окружности

Если трапеция вписана в окружность, то такая трапеция – равнобедренная.

$$P_{ADCB} = AD + DC + CB + AB = AB + DC + 2\cdot AD = 22$$

Найдём сумму оснований через среднюю линию:

$$FE = \frac{AB + DC}{2} = 5 \Leftrightarrow AB + DC = 10$$

Найдём боковую сторону:

$$AB + DC + 2\cdot AD = 22 \Leftrightarrow 2\cdot AD = 22 - 10 = 12 \Leftrightarrow AD = \frac{12}{2} = 6$$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Он равнобедренный, так как $DC = CB$.

Меньшее боковую сторону $CB$:

$$CB = AB - 2HB = AB - 2\cdot CB \cdot\cos CBH = AB - 2\cdot\frac{1}{2}\cdot CB \Leftrightarrow CB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника $DCB$:

Угол $DCB = 120^\circ$. Тогда углы при основании $DB$ равны $30^\circ$.

$$\frac{CB}{\sin DBC} = \frac{CB}{\sin 30^\circ} = 2\cdot R \Leftrightarrow R = \frac{CB}{2\cdot\sin 30^\circ} = \frac{6}{2\cdot\frac{1}{2}} = 6$$

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $DOC$. Они равнобедренные, так как $AO = BO = DO = CO$ – радиусы окружности.

Высота трапеции равна $FE = FO + OE$, где $FO$ и $OE$ – высоты равнобедренных треугольников.

Найдём $FO$ и $OE$ по теореме пифагора из треугольников $AOB$ и $DOC$:

$$OE = \sqrt{OB^2 - EB^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$ $$FO = \sqrt{CO^2 - FC^2} = \sqrt{5^2 - \left(\frac{DC}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$$

Найдём высоту $FE$:

$$FE = FO + OE = 4 + 3 = 7$$

Если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Поэтому больший из оставшихся углов будет противоположным по отношению к меньшему из двух данных:

$$180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$$

Периметр правильного шестиугольника состоит из 6 равных между собой сторон, поэтому сторона шестиугольника равна:

$$\frac{72}{6} = 12$$

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $AO = OB = R$. Центральный угол $AOB$ равен $60^\circ$. Тогда углы при основании $AB$ равны по $60^\circ$. Значит треугольник $AOB$ – расносторонний и $AB = R$

Тогда диаметр описанной окружности равен:

$$D = 2\cdot R = 2\cdot12 = 24$$