Прочее

Пусть $x$ литров — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает $x-6$ литров воды в минуту. Резервуар объемом 112 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба, отсюда имеем:

$$\frac{112}{x-6}-\frac{112}{x}=6 \Leftrightarrow \frac{112}{x(x-6)}=1 \Leftrightarrow x(x-6)=14\cdot 8$$

$$\left[ \begin{array}{l} x=14,\\ x=-8 \end{array} \right. \qquad x>0 \Rightarrow x=14.$$

Значит, вторая труба пропускает 14 литров воды в минуту.

Найдём коэффициенты $a, b, c$.

Заметим, что координаты вершины параболы равны $(2, -4)$ (то есть $x_0 = 2, y_0 = -4$) и $a = 1$.

Составим уравнение: $$f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0 = 1\cdot(x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$$

Найдём коэффициент $k$: $$g(1) = 3 \Leftrightarrow 1\cdot k = 3 \Rightarrow k = 3$$

Найдём абсциссу точки $B$: $$f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x = 3x \Leftrightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 7$$

$x = 0$ соответствует точке $A$, значит абсцисса точки $B$ равна $7$.

Найдем производную заданной функции:

$$y'=2\sqrt{x}-12.$$

Найдем нули производной:

$$2\sqrt{x}-12=0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=6 \Leftrightarrow x=36.$$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

В точке $x=36$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$$y(36)=288-432+95=-49.$$

а) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^3 x+\sqrt2\cos^2 x=2\sin x$$

$$2\sin x(\sin^2 x-1)+\sqrt2\cos^2 x=0$$

$$-2\sin x\cos^2 x+\sqrt2\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x\,(-2\sin x+\sqrt2)=0$$

Отсюда получаем

$$\begin{cases} \cos x=0;\\ \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}, \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\\ x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\\ x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{cases} \qquad \text{где } k\in\mathbb Z$$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

Таким образом, подходят корни —

$$-\frac{5\pi}{2};\ -\frac{7\pi}{4};\ -\frac{3\pi}{2}.$$

Ответ:

а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$

б) $-\dfrac{5\pi}{2};\ -\dfrac{7\pi}{4};\ -\dfrac{3\pi}{2}$

а) Проведем $CH \perp AB$. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, то $H$ — середина $AB$. Так как $AP : PB = 1 : 3$, то $AP = x$, $PB = 3x$. Тогда

$$AB = 4x, \; HB = 2x,$$ следовательно,

$$HP = x.$$ Следовательно, $P$ — середина $AH$.

Проведем $NQ \parallel AA_1$, тогда $N$ — середина $AC$. Следовательно, так как

$$CN : NA = HP : PA = 1 : 1,$$ то по обратной теореме Фалеса $NP \parallel CH$.

Следовательно, $NP \perp AB$.

Так как $PQ \perp \alpha$, то $PQ$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в $\alpha$. Заметим, что $MN$ — средняя линия в $\triangle ABC$, параллельная $AB$. Следовательно,

$$MN \perp NP.$$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная $PQ \perp MN$. Следовательно, $MN \in \alpha$. А так как $AB \parallel MN$, то по признаку $AB \parallel \alpha$. Что и требовалось доказать.

б) Так как

$$AB = 4x,$$ то

$$NQ = AA_1 = 4x, \quad AC = BC = 14x.$$ Следовательно, по теореме Пифагора из $\triangle ANP$:

$$NP = 4x\sqrt{3}$$

Проведем $NK \perp PQ$. Тогда $NK \in \alpha$. Следовательно, $K$ — точка, в которой $PQ$ пересекает $\alpha$. Нужно найти $PK : KQ$. По свойству прямоугольного треугольника высота, опущенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов:

$$\frac{PK}{KQ} = \frac{NP^2}{NQ^2} = \frac{(4x\sqrt{3})^2}{(4x)^2} = \frac{3}{1}$$

Ответ:

б) $3:1$