Прочее

Запишем ОДЗ неравенства: $$\left\{ \begin{aligned} &(x-4)(x^2-2x-8)>0\\ &(x-4)^2>0 \end{aligned} \right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &(x-4)(x-4)(x+2)>0\\ &x-4\ne0 \end{aligned} \right.$$

$$\left\{ \begin{aligned} &x>-2\\ &x-4\ne0 \end{aligned} \right.$$

$$x\in(-2;4)\cup(4;+\infty)$$

На ОДЗ преобразуем логарифмы: $$\log_{25}\bigl((x-4)(x^2-2x-8)\bigr)=0,5\log_5\bigl((x-4)^2(x+2)\bigr)=0,5\log_5(x-4)^2+0,5\log_5(x+2).$$

Тогда исходное неравенство примет вид: $$0,5\log_5(x-4)^2+0,5\log_5(x+2)+1\ge0,5\log_5(x-4)^2$$ $$0,5\log_5(x+2)\ge-1$$ $$\log_5(x+2)\ge-2$$ $$\log_5(x+2)\ge\log_5 0,04$$ $$x+2\ge0,04$$ $$x\ge-1,96$$

С учётом ОДЗ получаем, что $x\in[-1,96;4)\cup(4;+\infty)$.

Ответ: $$[-1,96;4)\cup(4;+\infty)$$

Пусть x тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2026 по 2030 годы, а $y$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2031 по 2035. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

Из таблицы следует, что $400 = 5y$. Тогда $y = 80$. Также из таблицы следует, что $200 = 5x$, откуда $x = 40$.

Так как сумма всех платежей равна $1740$ тыс. рублей, то

$$5x + 0{,}01r(600 + 600 - x + 600 - 2x + 600 - 3x + 600 - 4x)+$$

$$+5y + 0{,}01r(400 + 400 - y + 400 - 2y + 400 - 3y + 400 - 4y) = 1740$$

Тогда

$$200 + 400 + 0{,}01r(5\cdot 600 - 10x + 5\cdot 400 - 10y) = 1740$$

$$600 + 5\cdot 0{,}01r(1000 - 2(40 + 80)) = 1740$$

$$5\cdot 760\cdot 0{,}01r = 1140$$

$$r = 30$$

Следовательно, $r = 30$.

Ответ: $30$

а) Пусть прямая из условия пересекает $AD$ в точке $E$, а $BC$ — в точке $F$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту $BH$ на $AD$.

Заметим, что $AO = OC$. Тогда $AM : OM = 2 : 1$. Так как $BN : ND = 1 : 3$, а $BO = OD$, то $N$ — середина $BO$. Запишем теорему Менелая для треугольника $AOD$ и прямой $NE$ :

$$\frac{OM}{MA}\cdot\frac{AE}{ED}\cdot\frac{DN}{NO}=1$$

$$\frac{DE}{AE}=\frac{OM}{MA}\cdot\frac{DN}{NO}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{1}=\frac{3}{2}$$

Прямые $NE$ и $BH$ перпендикулярны прямой $AD$, а значит параллельны. Тогда по теореме Фалеса для угла $BDH$ :

$$\frac{DE}{EH}=\frac{DN}{NB}=\frac{3}{1}$$

Таким образом, $EH$ в два раза меньше $EA$. Значит, $AD = 5AH$. Но в ромбе $AB = AD$, тогда имеем:

$$\cos \angle BAD = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{5}$$

б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

$$\angle OAD=\frac{1}{2}\angle BAD$$

Прямоугольные треугольники $AOD$ и $NED$ подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда имеем:

$$\angle END=\angle OAD=\frac{1}{2}\angle BAD$$

Значит, так как $\angle OAD < 90^\circ$, то по формуле косинуса двойного угла

$$\cos \angle OAD=\sqrt{\frac{\cos \angle BAD+1}{2}}=\sqrt{0,6}$$

Отсюда получаем

$$\sin \angle OAD=\sqrt{1-\cos^2 \angle OAD}=\sqrt{0,4}$$

Значит,

$$NO=MN\sqrt{0,6}, \qquad MO=MN\sqrt{0,4}$$

Мы знаем, что

$$BD=4NO, \qquad AC=6MO$$

Тогда окончательно имеем:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=12NO\cdot MO=$$

$$=12\cdot 5\sqrt{2}\cdot \sqrt{0,6}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \sqrt{0,4}=$$

$$=12\cdot 5\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \sqrt{0,6\cdot 0,4}=120\sqrt{6}$$

Ответ: б) $120\sqrt{6}$

Система определена при $y-x+8\ge 0$. На этой области определения первое уравнение системы равносильно совокупности

$$\left[ \begin{array}{l} y=x-8\\ y=1-\dfrac{8}{x}\quad (\text{при }x=0\text{ получается неверное равенство }0=8) \end{array} \right.$$

В координатах $xOy$ получаем прямую и гиперболу в области $y\ge x-8$. Второе уравнение задает прямую с угловым коэффициентом $2$, у которой параметр $a$ отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси. Точка пересечения прямых $y=2x+a$ и $y=x-8$ при каждом фиксированном $a$ является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь, если прямая $y=2x+a$ касается одной из веток гиперболы, либо пересекает правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой $y=x-8$, а второй раз в области ниже этой прямой $y=x-8$. Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.

Положения 1 и 2. Прямая $y=2x+a$ касается гиперболы $y=1-\dfrac{8}{x}$, если уравнение

$$2x+a=1-\dfrac{8}{x}$$ имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант $(a-1)^2-4\cdot 2\cdot 8$ равен нулю:

$$a-1=\pm 8 \iff a\in\{-7;9\}$$

Гипербола $y=1-\dfrac{8}{x}$ пересекается с прямой $y=x-8$ при

$$x-8=1-\dfrac{8}{x}$$

$$x^2-8x=x-8$$

$$x^2-9x+8=0$$

Получаем $x=1,\ y=-7$ и $x=8,\ y=0$. Найдем значения параметра, при которых прямая $y=2x+a$ проходит через эти точки. Положение 3: $-7=2+a \iff a=-9$. При этом значении параметра решением системы является точка $(1;-7)$ и вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$, которая находится в пределах области выше прямой $y=x-8$. Всего будет два решения системы, так что это значение параметра нам подходит. Положение 4: $0=16+a \iff a=-16$. При этом значении параметра решением системы является точка $(8;0)$, а вторая точка пересечения гиперболы с прямой $y=2x+a$ находится в пределах области ниже прямой $y=x-8$. Всего будет одно решение системы, так что это значение параметра нам не подходит. Тогда окончательно имеем $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$.

Ответ: $a\in(-16;-9]\cup\{-7\}\cup\{9\}$

а) Да, например, $15\cdot 10=150$.

б) Все числа в данном диапазоне начинаются с четверки, а если ее вычеркнуть — будут не меньше $40$ (если же ее оставить — тоже будут не меньше $40$). Значит, произведение двух двузначных чисел будет не меньше

$$40\cdot 40=1600>500>A.$$

в) Заметим, что $810=81\cdot 10$. Докажем, что для больших чисел описанная ситуация невозможна. Очевидно, число $811$ не получается перемножением чисел $81$ и $11$ в любых комбинациях.

Если есть подходящее число в диапазоне от $812$ до $899$, то оно начинается на $8$. Если оба двузначных числа сохраняют в себе эту восьмерку, то их произведение больше чем $80^2>900$, что невозможно. Если ни одно ее не сохраняет, то $B=C$ и $A=B^2$, но

$$28^2=784<811<29^2=841<900<30^2,$$ значит, единственным подходящим числом могло бы быть $841$, но $41^2\ne 841$.

Итак, одно из чисел состоит из двух последних цифр числа $A$ (и потому не меньше $12$), а второе сохраняет первую цифру (и не меньше $80$), значит, их произведение не меньше

$$80\cdot 12=960>900>A.$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $810$.